Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д8 C1 № 527501

а) Решите уравнение 3 умножить на 2 в степени левая круглая скобка косинус x плюс 3 корень из 1 минус синус в квадрате x правая круглая скобка плюс 11 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 2 косинус x правая круглая скобка минус 34=0.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

Спрятать решение

Решение.

а) Поскольку  корень из 1 минус синус в квадрате x=| косинус x|, получаем два варианта. При  косинус x больше или равно 0 имеем

3 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 4 косинус x правая круглая скобка плюс 11 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 2 косинус x правая круглая скобка минус 34=0.

Обозначая t=2 в степени левая круглая скобка 2 косинус x правая круглая скобка , имеем

3t в квадрате плюс 11t минус 34=0 равносильно левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 3t плюс 17 правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений t=2,t= минус дробь: числитель: 17, знаменатель: 3 конец дроби левая круглая скобка невозможно правая круглая скобка . конец совокупности .

Следовательно,

2 косинус x=1 равносильно косинус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k.

При  косинус x меньше 0 имеем

3 умножить на 2 в степени левая круглая скобка минус 2 косинус x правая круглая скобка плюс 11 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 2 косинус x правая круглая скобка минус 34=0.

Обозначая t=2 в степени левая круглая скобка 2 косинус x правая круглая скобка , имеем

 дробь: числитель: 3, знаменатель: t конец дроби плюс 11t минус 34=0 равносильно 11t в квадрате минус 34t плюс 3=0 равносильно левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 11t минус 1 правая круглая скобка равносильно совокупность выражений t= дробь: числитель: 1, знаменатель: 11 конец дроби ,t=3. конец совокупности .

Перейдём к основной переменной:

 совокупность выражений 2 косинус x= минус логарифм по основанию 2 11,2 косинус x= логарифм по основанию 2 3 конец совокупности . равносильно совокупность выражений косинус x= минус логарифм по основанию 2 корень из 11 меньше минус 1, косинус x= логарифм по основанию 2 корень из 3 больше 0 конец совокупности .

поэтому для этого случая решений нет.

б) С помощью тригонометрического круга отберем корни . На указанном промежутке лежат: \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,  дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,  дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 3 конец дроби . Следует обратить внимание на то, что промежуток имеет длину больше 2 Пи и занимает поэтому больше целого оборота на круге.

 

Ответ: а)  левая фигурная скобка \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ; б) \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,  дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,  дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а.

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов пункта а и пункта б.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл2
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 265.
Методы алгебры: Введение замены