ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д8 C1 № 505802 Добавить в вариант

а)  Решите уравнение $\log _3 левая круглая скобка 2 синус в квадрате x правая круглая скобка минус 1=2\log _3 косинус x плюс \log _32.$

б)  Найдите все корни на промежутке $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Спрятать решение

Решение.

а)   Ограничения на $x:$ $косинус x больше 0$ (I и IV четверти). При этих значениях $x:$

$\log _3 левая круглая скобка 2 синус в квадрате x правая круглая скобка минус 1=2\log _3 косинус x плюс \log _32 равносильно \log _32 плюс \log _3 левая круглая скобка синус в квадрате x правая круглая скобка минус 1=2\log _3 косинус x плюс \log _32 равносильно$ $\log _3 левая круглая скобка 2 синус в квадрате x правая круглая скобка минус 1=2\log _3 косинус x плюс \log _32 равносильно$
$равносильно \log _32 плюс \log _3 левая круглая скобка синус в квадрате x правая круглая скобка минус 1=2\log _3 косинус x плюс \log _32 равносильно$

$равносильно \log _3 левая круглая скобка синус в квадрате x правая круглая скобка минус 1=2\log _3 косинус x.$

1)  Пусть $2 Пи n меньше x меньше дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z$ (I четверть). Тогда $синус x больше 0,$ а также:

$\log _3 левая круглая скобка синус в квадрате x правая круглая скобка минус 1=2\log _3 косинус x равносильно 2\log _3 синус x минус 2\log _3 косинус x=1 равносильно 2\log _3 левая круглая скобка дробь: числитель: синус x, знаменатель: косинус x конец дроби правая круглая скобка =1 равносильно$ $\log _3 левая круглая скобка синус в квадрате x правая круглая скобка минус 1=2\log _3 косинус x равносильно$
$равносильно 2\log _3 синус x минус 2\log _3 косинус x=1 равносильно 2\log _3 левая круглая скобка дробь: числитель: синус x, знаменатель: косинус x конец дроби правая круглая скобка =1 равносильно$ $\log _3 левая круглая скобка синус в квадрате x правая круглая скобка минус 1=2\log _3 косинус x равносильно$
$равносильно 2\log _3 синус x минус 2\log _3 косинус x=1 равносильно$
$равносильно 2\log _3 левая круглая скобка дробь: числитель: синус x, знаменатель: косинус x конец дроби правая круглая скобка =1 равносильно$

$равносильно \log _3 тангенс x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно тангенс x= корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента равносильно x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z .$

2)  Пусть $минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n меньше x меньше 2 Пи n,n принадлежит Z$ (IV четверть). Тогда $синус x меньше 0,$ а также:

$\log _3 левая круглая скобка синус в квадрате x правая круглая скобка минус 1=2\log _3 косинус x равносильно 2\log _3 левая круглая скобка минус синус x правая круглая скобка минус 2\log _3 косинус x=1 равносильно 2\log _3 левая круглая скобка минус дробь: числитель: синус x, знаменатель: косинус x конец дроби правая круглая скобка =1 равносильно$ $\log _3 левая круглая скобка синус в квадрате x правая круглая скобка минус 1=2\log _3 косинус x равносильно$
$равносильно 2\log _3 левая круглая скобка минус синус x правая круглая скобка минус 2\log _3 косинус x=1 равносильно 2\log _3 левая круглая скобка минус дробь: числитель: синус x, знаменатель: косинус x конец дроби правая круглая скобка =1 равносильно$ $\log _3 левая круглая скобка синус в квадрате x правая круглая скобка минус 1=2\log _3 косинус x равносильно$
$равносильно 2\log _3 левая круглая скобка минус синус x правая круглая скобка минус 2\log _3 косинус x=1 равносильно$
$равносильно 2\log _3 левая круглая скобка минус дробь: числитель: синус x, знаменатель: косинус x конец дроби правая круглая скобка =1 равносильно$

$равносильно \log _3 левая круглая скобка минус тангенс x правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно минус тангенс x= корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента равносильно тангенс x= минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента равносильно x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z .$ $равносильно \log _3 левая круглая скобка минус тангенс x правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно минус тангенс x= корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента равносильно$
$равносильно тангенс x= минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента равносильно x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z .$

Таким образом, множество решений исходного уравнения: $\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z .$

б)  Нетрудно понять, что условию б) удовлетворяют лишь два корня: $\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Ответ: а) $\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z .$ б) $\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Аналоги к заданию № 505802: 505826 506002 Все

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 75

Классификатор алгебры: Логарифмические уравнения, Тригонометрические уравнения, Уравнения смешанного типа

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь