Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д8 C1 № 521263
i

Дано урав­не­ние 2\ctg в квад­ра­те x плюс дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: синус x конец дроби = 0.

а)  Ре­ши­те урав­не­ние.

б)  Най­ди­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку левая квад­рат­ная скоб­ка 16 Пи ;18 Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

дробь: чис­ли­тель: 2 ко­си­нус в квад­ра­те x, зна­ме­на­тель: синус в квад­ра­те x конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: синус x конец дроби =0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 2 минус 2 синус в квад­ра­те x, зна­ме­на­тель: синус в квад­ра­те x конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: синус x конец дроби =0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: синус в квад­ра­те x конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: синус x конец дроби минус 2=0.

Пусть дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: синус x конец дроби =t, тогда по­лу­чим:

2t в квад­ра­те плюс 3t минус 2=0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний t= минус 2,t= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . конец со­во­куп­но­сти .

Тогда синус x= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби или синус x=2. Вто­рая серия не­воз­мож­на, а пер­вая дает минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, минус дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k.

б)  Ясно, что при k=9 зна­че­ния по­па­да­ют на нуж­ный про­ме­жу­ток. Дру­гих нет, по­сколь­ку про­ме­жу­ток пред­став­ля­ет на окруж­но­сти как раз один обо­рот (а 16 Пи не под­хо­дит в урав­не­ние). По­лу­чим: 18 Пи минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби ; 18 Пи минус дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби .

 

 

Ответ: а) левая фи­гур­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k; минус дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k:k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б) 18 Пи минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби ; 18 Пи минус дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а, или в пунк­те б.

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния обоих пунк­тов — пунк­та а и пунк­та б.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 196
Классификатор алгебры: Ос­нов­ное три­го­но­мет­ри­че­ское тож­де­ство и его след­ствия, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, сво­ди­мые к целым на синус или ко­си­нус, Урав­не­ния, ра­ци­о­наль­ные от­но­си­тель­но три­го­но­мет­ри­че­ских функ­ций
Методы алгебры: Вве­де­ние за­ме­ны
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025