Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д8 C1 № 526935
i

Дано урав­не­ние  тан­генс 2x плюс \ctg x=8 ко­си­нус в квад­ра­те x.

а)  Ре­ши­те урав­не­ние.

б)  Най­ди­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку  левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 11 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ;4 Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пе­ре­пи­шем урав­не­ние в виде

 дробь: чис­ли­тель: синус 2x, зна­ме­на­тель: ко­си­нус 2x конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус x, зна­ме­на­тель: синус x конец дроби =8 ко­си­нус в квад­ра­те x.

Будем пом­нить, что  ко­си­нус 2x не равно 0,  синус x не равно 0, то есть x не равно дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи k, x не равно Пи k. Имеем:

 синус 2x синус x плюс ко­си­нус 2x ко­си­нус x=8 ко­си­нус в квад­ра­те x синус x ко­си­нус 2x рав­но­силь­но

 

 рав­но­силь­но ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка 2x минус x пра­вая круг­лая скоб­ка =8 ко­си­нус в квад­ра­те x синус x ко­си­нус 2x рав­но­силь­но ко­си­нус x=8 ко­си­нус в квад­ра­те x синус x ко­си­нус 2x.

Либо  ко­си­нус x=0, x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи k, такие числа под­хо­дят. Либо по­де­лим на  ко­си­нус x:

1=8 синус x ко­си­нус x ко­си­нус 2x рав­но­силь­но 1=4 синус 2x ко­си­нус 2x рав­но­силь­но 1=2 синус 4x.

Зна­чит,  синус 4x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , 4x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, 4x= дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, по­это­му x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 24 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , x= дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 24 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Все они при при­ве­де­нии к об­ще­му зна­ме­на­те­лю будут иметь зна­ме­на­тель крат­ный 3, по­это­му не сов­па­дут с за­пре­щен­ны­ми зна­че­ни­я­ми.

Из самой пер­вой серии под­хо­дит  дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Для удоб­ства от­бо­ра из осталь­ных до­мно­жим все на 4. Тогда нужно оби­рать так, чтобы 4x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, 4x= дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k ле­жа­ли на  левая квад­рат­ная скоб­ка 11 Пи ;16 Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . Оче­вид­но можно взять k=6 или 7 для обеих серий, а дру­гие нель­зя.

 

Ответ: а)  левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи k; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 24 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 24 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби :k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б)  дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ;  дробь: чис­ли­тель: 73 Пи , зна­ме­на­тель: 24 конец дроби ;  дробь: чис­ли­тель: 77 Пи , зна­ме­на­тель: 24 конец дроби ;  дробь: чис­ли­тель: 85 Пи , зна­ме­на­тель: 24 конец дроби ;  дробь: чис­ли­тель: 89 Пи , зна­ме­на­тель: 24 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а, или в пунк­те б.

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния обоих пунк­тов — пунк­та а и пунк­та б.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 200
Классификатор алгебры: Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния
Методы алгебры: Три­го­но­мет­ри­че­ские фор­му­лы суммы и раз­но­сти ар­гу­мен­тов, Фор­му­лы двой­но­го угла