Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д8 C1 № 526935

Дано уравнение  тангенс 2x плюс \ctg x=8 косинус в квадрате x.

а) Решите уравнение.

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  левая квадратная скобка дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;4 Пи правая квадратная скобка .

Спрятать решение

Решение.

Перепишем уравнение в виде

 дробь: числитель: синус 2x, знаменатель: косинус 2x конец дроби плюс дробь: числитель: косинус x, знаменатель: синус x конец дроби =8 косинус в квадрате x.

Будем помнить, что  косинус 2x не равно 0,  синус x не равно 0, то есть x не равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k, x не равно Пи k. Имеем:

 синус 2x синус x плюс косинус 2x косинус x=8 косинус в квадрате x синус x косинус 2x равносильно

 

 равносильно косинус левая круглая скобка 2x минус x правая круглая скобка =8 косинус в квадрате x синус x косинус 2x равносильно косинус x=8 косинус в квадрате x синус x косинус 2x.

Либо  косинус x=0, x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, такие числа подходят. Либо поделим на  косинус x:

1=8 синус x косинус x косинус 2x равносильно 1=4 синус 2x косинус 2x равносильно 1=2 синус 4x.

Значит,  синус 4x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , 4x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, 4x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, поэтому x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 24 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби , x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 24 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби . Все они при приведении к общему знаменателю будут иметь знаменатель кратный 3, поэтому не совпадут с запрещенными значениями.

Из самой первой серии подходит  дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби . Для удобства отбора из остальных домножим все на 4. Тогда нужно обирать так, чтобы 4x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, 4x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k лежали на  левая квадратная скобка 11 Пи ;16 Пи правая квадратная скобка . Очевидно можно взять k=6 или 7 для обеих серий, а другие нельзя.

 

Ответ: а)  левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 24 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 24 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби :k принадлежит Z правая фигурная скобка ; б)  дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;  дробь: числитель: 73 Пи , знаменатель: 24 конец дроби ;  дробь: числитель: 77 Пи , знаменатель: 24 конец дроби ;  дробь: числитель: 85 Пи , знаменатель: 24 конец дроби ;  дробь: числитель: 89 Пи , знаменатель: 24 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б.

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл2
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 200.
Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения