Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д8 C1 № 505640

а) Решите уравнение 5 умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 25 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка синус правая круглая скобка в квадрате x плюс 4 умножить на 5 в степени левая круглая скобка косинус 2x правая круглая скобка =25 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: синус 2x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .

б) Найдите все корни на промежутке левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

Спрятать решение

Решение.

а) 

5 умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 25 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка синус правая круглая скобка в квадрате x плюс 4 умножить на 5 в степени левая круглая скобка косинус 2x правая круглая скобка =25 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: синус 2x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка равносильно 5 в степени левая круглая скобка 1 минус 2 синус правая круглая скобка в квадрате x плюс 4 умножить на 5 в степени левая круглая скобка косинус 2x правая круглая скобка =5 в степени левая круглая скобка синус 2x правая круглая скобка равносильно

 

 равносильно 5 в степени левая круглая скобка 1 минус 1 плюс косинус 2x правая круглая скобка плюс 4 умножить на 5 в степени левая круглая скобка косинус 2x правая круглая скобка =5 в степени левая круглая скобка синус 2x правая круглая скобка равносильно 5 в степени левая круглая скобка косинус 2x правая круглая скобка плюс 4 умножить на 5 в степени левая круглая скобка косинус 2x правая круглая скобка =5 в степени левая круглая скобка синус 2x правая круглая скобка равносильно 5 умножить на 5 в степени левая круглая скобка косинус 2x правая круглая скобка =5 в степени левая круглая скобка синус 2x правая круглая скобка равносильно

 

 равносильно 5 в степени левая круглая скобка 1 плюс косинус 2x правая круглая скобка =5 в степени левая круглая скобка синус 2x правая круглая скобка равносильно 1 плюс косинус 2x= синус 2x равносильно 2 косинус в квадрате x минус 2 синус x умножить на косинус x=0 равносильно

 

 равносильно 2 косинус x левая круглая скобка косинус x минус синус x правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений  новая строка косинус x=0,  новая строка синус x= косинус x конец совокупности . равносильно совокупность выражений  новая строка x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z ,  новая строка x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z .  конец совокупности .

б)  Выборка корней. Будем искать строго положительные корни.

Из серии  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z .

При n=0 x_1= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби , дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; при n=1 x_2= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи = дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби . Дальнейшие поиски корней из данной серии смысла не имеют.

Из серии  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z :

При n=0 x_3= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 2, знаменатель: 4 конец дроби ;  Пи больше 2 (неравенство очевидное).

При n=1 x_4= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи = дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .  дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби меньше дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби равносильно дробь: числитель: 2, знаменатель: 4 конец дроби меньше дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби меньше дробь: числитель: 6 Пи , знаменатель: 4 конец дроби равносильно 2 меньше 5 Пи меньше 6 Пи (неравенство очевидное).

При n=2 x_= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи = дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 4 конец дроби больше дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 6 Пи , знаменатель: 4 конец дроби . Дальнейшие поиски корней из данной серии смысла не имеют.

Итак, x_1= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ; x_2= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; x_3= Пи плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ; x_4= дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .

 

Ответ: а)  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n|n принадлежит Z ;  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z . б)  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;  дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;  дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б.

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл2
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 48.
Методы алгебры: Формулы двойного угла