ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д8 C1 № 521256 Добавить в вариант

Дано уравнение $1 плюс 2 косинус x = синус 2x плюс 2 синус x.$

а)  Решите уравнение.

б)  Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус 2 Пи правая квадратная скобка .$

Спрятать решение

Решение.

а)  Преобразуем уравнение:

$2 левая круглая скобка косинус x минус синус x правая круглая скобка =2 синус x косинус x минус 1 равносильно 2 левая круглая скобка косинус x минус синус x правая круглая скобка =2 синус x косинус x минус синус в квадрате x минус косинус в квадрате x равносильно$ $2 левая круглая скобка косинус x минус синус x правая круглая скобка =2 синус x косинус x минус 1 равносильно$
$равносильно 2 левая круглая скобка косинус x минус синус x правая круглая скобка =2 синус x косинус x минус синус в квадрате x минус косинус в квадрате x равносильно$

$равносильно 2 левая круглая скобка косинус x минус синус x правая круглая скобка = минус левая круглая скобка косинус x минус синус x правая круглая скобка в квадрате равносильно 2 левая круглая скобка косинус x минус синус x правая круглая скобка плюс левая круглая скобка косинус x минус синус x правая круглая скобка в квадрате =0 равносильно$ $равносильно 2 левая круглая скобка косинус x минус синус x правая круглая скобка = минус левая круглая скобка косинус x минус синус x правая круглая скобка в квадрате равносильно$
$равносильно 2 левая круглая скобка косинус x минус синус x правая круглая скобка плюс левая круглая скобка косинус x минус синус x правая круглая скобка в квадрате =0 равносильно$

$равносильно левая круглая скобка косинус x минус синус x правая круглая скобка левая круглая скобка косинус x минус синус x плюс 2 правая круглая скобка =0.$

Вторая скобка не может обнуляться, поскольку $косинус x больше или равно минус 1,$ $минус синус x больше или равно минус 1$ и эти неравенства не обращаются в равенства одновременно. Значит, $синус x= косинус x,$ то есть $тангенс x=1,$ $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k.$

б)  С помощью тригонометрического круга отберем корень. Получим $x= дробь: числитель: минус 11 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 195

Классификатор алгебры: Основное тригонометрическое тождество и его следствия, Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

Методы алгебры: Группировка, Формулы двойного угла

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь