ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д8 C1 № 521242 Добавить в вариант

Дано уравнение $логарифм по основанию 3 в квадрате x в квадрате минус логарифм по основанию левая круглая скобка корень из 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 9x в квадрате правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3x конец аргумента правая круглая скобка x плюс 3 = 0$

а)  Решите уравнение.

б)  Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка корень 3 степени из: начало аргумента: 5 конец аргумента ; 5 правая квадратная скобка$

Спрятать решение

Решение.

а)  Решим уравнение $логарифм по основанию 3 в квадрате x в квадрате минус логарифм по основанию левая круглая скобка корень из 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 9x в квадрате правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3x конец аргумента правая круглая скобка x плюс 3 = 0$

$4 логарифм по основанию 3 в квадрате x минус 4 логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 3x правая круглая скобка умножить на 2 логарифм по основанию левая круглая скобка 3x правая круглая скобка x плюс 3 = 0 равносильно 4 логарифм по основанию 3 в квадрате x минус 8 левая круглая скобка 1 плюс логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию x 3 плюс 1 конец дроби плюс 3 = 0 равносильно$ $4 логарифм по основанию 3 в квадрате x минус 4 логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 3x правая круглая скобка умножить на 2 логарифм по основанию левая круглая скобка 3x правая круглая скобка x плюс 3 = 0 равносильно$
$равносильно 4 логарифм по основанию 3 в квадрате x минус 8 левая круглая скобка 1 плюс логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию x 3 плюс 1 конец дроби плюс 3 = 0 равносильно$

$равносильно 4 логарифм по основанию 3 в квадрате x минус 8 левая круглая скобка 1 плюс логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: логарифм по основанию 3 x, знаменатель: логарифм по основанию 3 x плюс 1 конец дроби плюс 3 = 0 равносильно система выражений 4 логарифм по основанию 3 в квадрате x минус 8 логарифм по основанию 3 x плюс 3 = 0, логарифм по основанию 3 x не равно минус 1 конец системы . равносильно$ $равносильно 4 логарифм по основанию 3 в квадрате x минус 8 левая круглая скобка 1 плюс логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: логарифм по основанию 3 x, знаменатель: логарифм по основанию 3 x плюс 1 конец дроби плюс 3 = 0 равносильно$
$равносильно система выражений 4 логарифм по основанию 3 в квадрате x минус 8 логарифм по основанию 3 x плюс 3 = 0, логарифм по основанию 3 x не равно минус 1 конец системы . равносильно$

$равносильно система выражений совокупность выражений логарифм по основанию 3 x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , логарифм по основанию 3 x= дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби , конец системы . логарифм по основанию 3 x не равно минус 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= корень из 3 ,x=3 корень из 3 . конец совокупности .$

б)  Отберём корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка корень 3 степени из: начало аргумента: 5 конец аргумента ; 5 правая квадратная скобка .$

Очевидно, что $25 меньше 27 меньше 5 в степени 6 \Rightarrow 25 в степени д робь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби меньше 27 в степени д робь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби меньше 5 \Rightarrow корень 3 степени из: начало аргумента: 5 конец аргумента меньше корень из 3 меньше 5.$

Очевидно, что $25 меньше 27 \Rightarrow 25 в степени д робь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше 27 в степени д робь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \Rightarrow 5 меньше 3 корень из 3 .$

Значит, отрезку $левая квадратная скобка корень 3 степени из: начало аргумента: 5 конец аргумента ; 5 правая квадратная скобка$ принадлежит только корень $корень из 3 .$

Ответ: $а правая круглая скобка 3 корень из 3 ; корень из 3 б правая круглая скобка корень из 3 .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 193

Классификатор алгебры: Иррациональные уравнения, Логарифмические уравнения, Уравнения смешанного типа

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь