Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д8 C1 № 521181
i

а)  Ре­ши­те урав­не­ние: ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби Пи синус x пра­вая круг­лая скоб­ка = минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

б)  Найти сумму ре­ше­ний, удо­вле­тво­ря­ю­щих не­ра­вен­ству: \left|x плюс дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби | мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Решим урав­не­ние

ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби Пи синус x пра­вая круг­лая скоб­ка = минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби

дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби Пи синус x = \pm дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k; k при­над­ле­жит Z

синус x = \pm дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 3k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; k при­над­ле­жит Z

За­ме­тим, что ре­ше­ния этого урав­не­ния су­ще­ству­ют толь­ко при k=0 и k=\pm1. При дру­гих зна­че­ни­ях k пра­вая часть урав­не­ния по мо­ду­лю боль­ше 1. По­это­му урав­не­ние рав­но­силь­но со­во­куп­но­сти

со­во­куп­ность вы­ра­же­ний синус x =\pm дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , синус x =\pm1; конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x=\pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс Пи n,x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи n, конец со­во­куп­но­сти . n при­над­ле­жит Z

б)  Решим не­ра­вен­ство

\left|x плюс дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби | мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби

минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше или равно x плюс дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби

минус дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби мень­ше или равно x мень­ше или равно минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби

Отберём корни ис­ход­но­го урав­не­ния на от­рез­ке левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка с по­мо­щью три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти. По­лу­чим че­ты­ре числа минус дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби .

Их сумма равна: минус дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: 8 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

 

 

 

 

Ответ: а)\pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс Пи n; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи n; n при­над­ле­жит Z; б пра­вая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 8 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а, или в пунк­те б.

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния обоих пунк­тов — пунк­та а и пунк­та б.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 185
Классификатор алгебры: Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025