PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
В окружность вписан четырехугольник ABCD, диагонали которого взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке E. Прямая, проходящая через точку E и перпендикулярная к AB, пересекает сторону CD в точке M. Известно, что AD = 8, AB = 4, угол CDB равен 60 градусов.
а) Докажите, что EM — медиана треугольника CED.
б) Найдите длину EM.
В треугольнике ABC угол В прямой, точка М лежит на стороне АС, причем 
Величина угла АВМ равна 60 градусам, BM = 8.
а) Найдите величину угла ВАС;
б) Найдите расстояние между центрами окружностей, описанных вокруг треугольников ВСМ и ВАМ.
В треугольнике ABC точка O — центр описанной окружности, точка R лежит на отрезке BC и BR = RC. Описанная около треугольника BRO окружность пересекает AB в точке T.
а) Докажите, что TR || AC.
б) Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что угол BOR равен 30°, RT = 8, BT = 6.
В окружность вписан четырехугольник ABCD, диагонали которого взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке E. Прямая, проходящая через точку E и перпендикулярная к AB, пересекает сторону CD в точке M.
а) Докажите, что EM — медиана треугольника CED.
б) Найдите EM, если AD = 8, AB = 4 и угол CDB равен 60°.
Дан квадрат ABCD со стороной 7. На сторонах BC и CD даны точки M и N такие, что периметр треугольника CMN равен 14.
а) Докажите, что B и D — точки касания вневписанной окружности треугольника CMN, а ее центр находится в вершине A квадрата ABCD.
б) Найдите угол MAN.
В окружность радиуса R вписан треугольник ABC. Вторая окружность радиуса r, концентрическая с первой, касается одной стороны треугольника и делит каждую из двух других сторон на три равные части.
а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
б) Найдите 
Пояснение: концентрические окружности — это окружности, у которых совпадают центры.
В треугольнике АВС основание ВС = 9,5, площадь треугольника равна 28,5. Окружность, вписанная в треугольник, касается средней линии, параллельной основанию.
а) Докажите, что АС + АВ = 3ВС.
б) Найдите меньшую из боковых сторон.
В треугольнике АВС AB = BC = 10, AC = 12. Биссектриса угла ВАС пересекает сторону BC в точке D и описанную около треугольника окружность в точке P.
а) Докажите, что ∠ABP = ∠BDP.
б) Найдите отношение площадей треугольников ADB и BDP.
Продолжение медианы AE треугольника ABC пересекает описанную около треугольника окружность в точке D.
а) Докажите подобие треугольников ABC и AEC, если AC = CD.
б) Найдите длину отрезка BC, если длина каждой из хорд AC и DC равна 1.
В окружность вписан четырёхугольник ABCD, диагонали которого взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке E. Прямая, проходящая через точку E и перпендикулярная к AB, пересекает сторону CD в точке M.
а) Докажите, что EM — медиана треугольника CED.
б) Найдите EM, если AD = 8, AB = 4 и угол CDB = 60°.
В треугольнике KLM угол L тупой, а длина стороны KM равна 6. На окружности, описанной около треугольника KLM, лежит центр окружности, проходящей через вершины K, M и точку пересечения высот треугольника KLM.
а) Докажите, что угол KLM равен 120 градусов.
б) Найдите радиус описанной около треугольника KLM окружности.
Окружность радиуса 
с центром на стороне AC треугольника ABC касается сторон AB и BC, равных соответственно 10 и 24.
а) Докажите, что треугольник ABC — прямоугольный.
б) Найдите высоту, опущенную из вершины прямого угла треугольника ABC.
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AD и CE, H — точка пересечения высот.
а) Докажите, что точки A, E, D и С лежат на одной окружности.
б) Известно, что радиус этой окружности равен 2, а радиус описанной окружности треугольника ABC равен 4. Найдите угол ABC.
Дан прямоугольный треугольник АВС, с катетами АВ = 5 и ВС = 12. Точка I — центр окружности, вписанной в треугольник АВС. Прямая, проходящая через точку I, параллельна одной из сторон треугольника АВС и пересекает две другие стороны в точках К и Р. Найдите длину отрезка КР.
Дан треугольник ABC, где BA = 5, BC = 8. В треугольник вписана окружность, касающаяся стороны BC в точке Р. Известно, что ВР = 3. Найдите площадь треугольника ВМР, где М — точка касания окружности со стороной треугольника АВС.
Дан треугольник АВС, в котором 
В треугольник вписана окружность, которая касается сторон AC, CB, BA в точках K, T и M соответственно. Прямая AT пересекает окружность в точке L, причем AL = 2. Найдите площадь треугольника, одна из сторон которого AT, а другая содержит точку касания окружностью треугольника АВС, если AK = 4.
Дан прямоугольный треугольник MNK с катетами 5 и 12. Треугольник KNJ — равносторонний, причем точка J и точка M ледат по разные стороны от прямой NK. Найдите расстояние от центра вписанной окружности в MNK до центра вписанной в KNJ окружности.
Четырехугольник KLMN вписан в окружность, его диагонали KM и LN пересекаются в точке F, причем KL = 8, MN = 4, периметр треугольника MNF равен 9, площадь треугольника KLF равна 
Найдите радиус окружности, описанной около треугольника KNF.
Трапеция ABCD с основаниями AD = 6 и BC = 4 и диагональю BD = 7 вписана в окружность. На окружности взята точка К, отличная от точки D так, что BK = 7. Найдите длину отрезка АК.
В треугольнике АВС АС = 12, ВС = 5, АВ = 13. Вокруг этого треугольника описана окружность S. Точка D является серединой стороны АС. Построена окружность S1, касающаяся окружности S и отрезка АС в точке D. Найдите радиус окружности S1.
На боковой стороне равнобедренного треугольника как на диаметре построена окружность, делящая вторую боковую сторону на отрезки, равные 1 и 2. Найдите основание треугольника.
В окружность радиуса 
вписана трапеция с основаниями 2 и 4. Найдите расстояние от центра окружности до точки пересечения диагоналей трапеции.
Окружности радиусов 2 и 1 касаются в точке A. Найдите сторону равностороннего треугольника, одна из вершин которого находится в точке A, а две другие лежат на разных окружностях.
Длины соседних сторон вписанного в окружность четырехугольника отличаются на 1. Длина наименьшей из них также равна 1. Найти радиус окружности.
Пусть O — центр окружности, описанной около треугольника ABC, угол AOC равен 60 градусов. Найдите угол AMC, где M — центр окружности, вписанной в треугольник ABC.
На окружности радиуса 3 с центром в вершине острого угла А прямоугольного треугольника АВС взята точка Р. Известно, что АС = 3, ВС = 8, а треугольники АРС и АРВ равновелики. Найдите расстояние от точки Р до прямой ВС, если известно, что оно больше 2.
В трапеции ABCD AD || BC, AB = 2 и E — точка пересечения биссектрисы угла BAD и прямой BC. Окружность, вписанная в треугольник ABE, касается сторон AB и BE в точках M и H соответственно, MH = 1.
а) Докажите, что MH || AE;
б) Найдите угол BAD.
В выпуклом четырехугольнике ABCD заключены две окружности одинакового радиуса r, касающиеся друг друга внешним образом. Центр первой окружности находится на отрезке, соединяющем вершину A с серединой F стороны CD, а центр второй окружности находится на отрезке, соединяющем вершину C с серединой E стороны AB. Первая окружность касается сторон AB, AD и CD, вторая окружность касается сторон AB, BC и CD.
а) Докажите, что AB || CD;
б) Найдите АС, если r = 2.
Хорда AB стягивает дугу окружности, равную 120°. Точка С лежит на этой дуге, а точка D лежит на хорде AB. При этом AD = 2, BD = 1, 
а) Докажите, что угол ADC равен 
б) Найдите площадь треугольника ABC.
В окружность вписан четырехугольник ABCD, диагонали которого перпендикулярны и пересекаются в точке Е. Прямая, проходящая через точку Е и перпендикулярная к АВ, пересекает сторону CD в точке М.
а) Докажите, что ЕМ — медиана треугольника CЕD.
б) Найдите длину отрезка ЕМ, если АD = 8, АВ = 4 и угол CDВ равен 60°.
Две окружности касаются внешним образом в точке А. Прямая l касается первой окружности в точке В, а второй — в точке С.
а) Докажите, что треугольник АВС прямоугольный.
б) Найдите площадь треугольника АВС, если радиусы окружностей 8 и 2.
Равносторонний треугольник АВС вписан в окружность. На окружности отмечена точка М, не совпадающая ни с одной из точек А, В и С.
а) Докажите, что расстояние от точки М до одной из вершин треугольника равно сумме расстояний до двух других вершин.
б) Найдите периметр четырехугольника с вершинами в точках А, В, С и М, если известно, что площадь равна 
а радиус окружности равен 
Окружность касается стороны АВ параллелограмма ABCD, пересекает стороны AD и ВС в точках М и N соответственно и проходит через вершины С и D.
а) Докажите, что DN = CM.
б) Найдите DN, зная, что AM = 9, BN = 16, BC = 18.
Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Точка Х лежит на его стороне AD, причем ВХ || CD и CX || BA, 
и DX = 6.
а) Докажите, что треугольники АВХ и ВХС подобны.
б) Найдите ВС.
На сторонах прямоугольного треугольника ABC, как на диаметрах, построены полуокружности w, w1 и w2. (рис.).
а) Докажите, что площадь треугольника ABC равна сумме площадей двух луночек, ограниченных полуокружностями w и w1 и полуокружностями w и w2.
б) Пусть прямая l касается w1 в точке M, а w2 в точке P. Найдите длину отрезка MP, если известно, что сумма площадей двух луночек равна 49.
Четырехугольник ABDC вписан в окружность. Прямые AB и CD пересекаются в точке P.
а) Докажите, что AD · BP = BC · DP.
б) Найдите площадь треугольника APC, если известно, что BD = 2 · AC, а площадь четырехугольника ABDC равна 36.
В равнобедренную трапецию ABCD с основаниями BC и AD вписана окружность. Вторая окружность, построенная на боковой стороне AB как на диаметре, второй раз пересекает большее основание AD в точке H.
а) Докажите, что треугольник CHD равнобедренный.
б) Найдите основания трапеции, если радиусы первой и второй окружностей равны соответственно 6 и 6,5.
Около окружности описана равнобедренная трапеция ABCD. E и K — точки касания этой окружности с боковыми сторонами AD и BC. Угол между основанием AB и боковой стороной AD трапеции равен 60°.
а) Докажите, что EK параллельно AB.
б) Найдите площадь трапеции ABKE, если радиус окружности равен 
Через вершины А и С прямоугольного треугольника ABC (∠B = 90°) проведена окружность с центром в точке О, касающаяся прямой AB и пересекающая продолжение стороны BC в точке E.
а) Докажите, что сумма углов AOE и AOC равна 180°.
б) Найдите диаметр окружности, если известно, что BE = 5, AC = 6.
В треугольнике ABC проведена биссектриса CM, касательная к описанной окружности треугольника ABC, проходящая через точку C, пересекает прямую AB в точке P.
А) Докажите, что BC : AC = CP : AP.
Б) Найдите длину CP, если известно, что AM = 5, BM = 4.
В прямоугольном треугольнике АВС 
проведены медианы АМ и ВК. Известно, что около четырехугольника АВМК можно описать окружность.
А) Докажите, что СК = СМ.
Б) Пусть АВ = 2. Найдите радиус окружности, описанной около четырехугольника.
Равносторонний треугольник ABC и три одинаковые окружности расположены таким образом, что каждая окружность касается двух сторон треугольника и двух других окружностей.
а) Докажите, что точки попарного касания окружностей являются вершинами равностороннего треугольника.
б) Найдите радиус окружностей, если известно, что AB = 4.
Из точки M, взятой на окружности с центром в точке О, на диаметры AB и СD опущены перпендикуляры MK и MP соответственно.
а) Докажите, что существует точка, одинаково удалённая от точек M, О, P, K.
б) Найдите площадь треугольника MKP, если известно, что ∠MKP = 30°, ∠AOC = 15°, а радиус окружности равен 4.
В ромб вписана окружность Θ. Окружности w1 и w2 (разного радиуса) расположены так, что каждая касается окружности Θ и двух соседних сторон ромба.
а) Докажите, что площадь круга, ограниченного окружностью Θ, составляет менее 80% площади ромба.
б) Найдите отношение радиусов окружностей w1 и w2, если известно, что диагонали ромба относятся, как 1 : 2.
В параллелограмм вписана окружность.
а) Докажите, что этот параллелограмм — ромб.
б) Окружность, касающаяся стороны ромба, делит её на отрезки, равные 5 и 3. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами ромба.
Вокруг выпуклого четырехугольника со сторонами a, b, c, d описана окружность.
а) Докажите, что отношение его диагоналей выражается как 
б) Найдите площадь четырехугольника, если a = 2, b = 8, c = 12, d = 4.
Окружность касается сторон AB и BC треугольника ABC соответственно в точках D и E, точки A, D, E, C лежат на одной окружности.
а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
б) Найдите длину высоты треугольника ABC, опущенной из точки А, если стороны AB и АС равны соответственно 5 и 2.
В окружность радиуса R вписан четырехугольник ABCD, P — точка пересечения его диагоналей, AB = CD = 5, AD > BC. Высота, опущенная из точки В на сторону AD, равна 3, а площадь треугольника ADP равна 
а) Докажите, что ABCD — равнобедренная трапеция
б) Найдите стороны AD, BC и радиус окружности R.
Через вершины А, В, С параллелограмма ABCD со сторонами AB = 3 и BC = 5 проведена окружность, пересекающая прямую BD в точке E, причем BE = 9.
а) Докажите, что BE > BD.
б) Найдите диагональ BD.
Окружность, проходящая через вершины A, C и D прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC, пересекает меньшую боковую сторону AB в точке P и касается прямой BC. Известно, что AD = CD.
а) Докажите, что CP — биссектриса угла ACB.
б) В каком отношении прямая DP делит площадь трапеции?
В равнобокую трапецию вписана окружность.
а) Докажите, что диаметр окружности равен среднему геометрическому длин оснований трапеции. (Средним геометрическим двух положительных чисел а и b называется значение выражения 
)
б) Найдите площадь четырехугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами трапеции, если известно, что длины оснований трапеции 8 и 18.
а) Докажите, что радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен половине разности суммы катетов и гипотенузы.
б) Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если радиусы окружностей, вписанных в треугольники, на которые он делится высотой, проведённой к гипотенузе, равны 4 и 5.
В прямоугольный треугольник ABC вписана окружность ω, касающаяся гипотенузы AB в точке M. Точка О — центр описанной около треугольника ABC окружности. Касательная к окружности ω, проведенная из точки О, пересекает сторону АС в точке P.
а) Докажите, что площадь треугольника ABC равна произведению длин отрезков AM и BM.
б) Найдите площадь четырехугольника BCPO, если известно, что AM = 12, BM = 5.
На катетах AC и BC прямоугольного треугольника ABC как на диаметрах построены окружности, второй раз пересекающиеся в точке M. Точка Q лежит на меньшей дуге MB окружности с диаметром BC. Прямая CQ второй раз пересекает окружность с диаметром AC в точке P.
а) Докажите, что прямые PM и QM перпендикулярны.
б) Найдите PQ, если AM = 1, BM = 3, а Q — середина дуги MB.
В параллелограмм вписана окружность.
а) Докажите, что этот параллелограмм — ромб.
б) Окружность, касающаяся стороны ромба, делит её на отрезки, равные 3 и 2. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами ромба.
Точка О — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника АВС.
На луче АО отмечена точка М так, что 
а) Докажите, что существует точка Р, одинаково удаленная от точек В, О, С, М.
б) Найдите расстояние от точки Р до точки М, если известно, что 
и ВС = 15.
В треугольнике ABC на AB, как на диаметре, построена окружность ω1, а на AC, как на диаметре, построена окружность ω2. Окружности ω1 и ω2 пересекаются в точке М, отличной от точек А, В и С.
а) Докажите, что точки М, В и С лежат на одной прямой.
б) Пусть АМ = 6, а диаметр окружности, описанной около треугольника АВС, равен 10. Найдите произведение АВ∙АС.
Высоты равнобедренного треугольника АВС с основанием АС пересекаются в точке Н, угол В равен 30 градусов. Луч СН второй раз пересекает окружность ω, описанную вокруг треугольника АВН, в точке К.
а) Докажите, что ВА — биссектриса угла КВС.
б) Отрезок ВС пересекает окружность ω в точке Е. Найдите ВЕ, если АС = 12.
Через вершины А и В треугольника АВС проведена окружность радиуса 
отсекающая от прямой ВС отрезок 
и касающаяся прямой АС в точке А. Из точки В проведен перпендикуляр к прямой ВС до пересечения с прямой АС в точке F.
а) Докажите AF = BF.
б) Найдите площадь треугольника АВС, если BF = 2.
Касательная в точке А к описанной окружности треугольника АВС пересекает прямую ВС в точке Е, AD — биссектриса треугольника АВС.
а) Докажите, что АЕ = ЕD.
б) Известно, что точка Е лежит на луче СВ и СЕ = 9, ВЕ = 4, 
Найдите расстояние от вершины В до прямой АС.
В остроугольном треугольнике АВС высоты пересекаются в точке Н, точка О — центр описанной окружности, точка К — середина ВС.
а) Докажите, что отрезок АН вдвое длиннее отрезка ОК.
б) Найдите длину отрезка ОН, если известно, что АВ = 5, ВС = 6, АС = 7.
В трапецию ABCD c основаниями ВС и AD вписана окружность с центром О, СН — высота трапеции, Е — точка пересечения диагоналей.
а) Докажите, что 
б) Найдите площадь четырехугольника СЕОН, если известно, что 
BC = 9, AD = 18.
Дан выпуклый четырехугольник ABCD с прямым углом А. Окружность, проходящая через вершины А, В и D пересекает стороны ВС и CD в точках M и N соответственно. Прямые BN и DM пересекаются в точке Р, а прямая СР пересекает сторону AD в точке К.
а) Докажите, что точки А, М, Р и К лежат на одной окружности.
б) Найдите радиус этой окружности, если известно, что прямая СK параллельна прямой АМ и АВ = АК = KD = 
Даны треугольник ABC и ромб BDEF, все вершины которого лежат на сторонах треугольника ABC, а угол при вершине E — тупой, 
а радиус окружности, вписанной в ромб, равен 1.
а) Найдите площадь треугольника ABC.
б) Найдите расстояние между центром окружности, вписанной в ромб, до центра окружности, вписанной в треугольник ABC.
В трапеции ABCD с меньшим основанием BC и площадью, равной 2, прямые BC и AD касаются окружности диаметром 
в точках В и D соответственно. Боковые стороны трапеции AB и CD пересекают окружность в точках M и N соответственно. Длина MN равна 1.
а) Найдите величину угла MBN.
б) Найдите длину основания AD.
На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M — середина стороны AB.
а) Докажите, что 
б) Найдите расстояния от точки M до центров квадратов, если 
и 
Диагонали трапеции ABCD с основаниями AD и BC пересекаются в точке M. Окружность, описанная около треугольника CDM, пересекает отрезок AD в точке N и касается прямой BN.
а) Докажите, что треугольники BNC и CDN подобны.
б) Найдите AD, если 
а радиус окружности равен 13.
Стороны треугольника ABC равны AB = 7, BC = 8, AC = 11. Вписанная окружность касается стороны AC в точке R. Вневписанная окружность касается стороны AC в точке F и продолжений сторон AB и BC.
а) Докажите, что AF + AB = FC + BC.
б) Найдите расстояние между точками F и R.
Продолжение высоты BH пересекает описанную вокруг треугольника ABC окружность ω в точке D, при этом BD = BC. На луче BD за точку D отмечена точка E такая, что EA касается ω в точке A.
а) Докажите, что 3∠EBC + 2∠BEA = 180°.
б) Найдите AE, если дополнительно известно, что 
а DC = 10.
Окружность касается сторон AC и BC треугольника ABC в точках A и B соответственно. На дуге этой окружности, лежащей вне треугольника, расположена точка K так, что расстояния от нее до продолжений сторон AC и BC равны 39 и 156 соответственно.
а) Найдите расстояние от точки K до прямой AB.
б) В каком отношении перпендикуляр, опущенный из точки K на прямую AB, делит площадь пятиугольника KFABE, где точки F и E — основания перпендикуляров, опущенных из точки K на прямые AC и BC соответственно?
Квадраты ABCD и A1B1C1D1 (вершины названы по часовой стрелке) совпадают вершинами C и B1. Точки O и O1 — центры квадратов.
а) Докажите, что прямая OO1 пересекает отрезки A1B и C1D под одинаковыми углами.
б) Найдите OO1, если 
Окружности С1 и С2 касаются внешним образом в точке А. Прямая l касается окружности С1 в точке В, а окружности С2 — в точке D. Через точку А проведены две прямые: одна проходит через точку В и пересекает окружность С2 в точке F, а другая касается окружностей С1 и С2 и пересекает прямую l в точке Е, 
а) Найдите радиусы окружностей С1 и С2.
б) Окружность С3 касается внешним образом окружностей С1 и С2, а также отрезка BD. Найдите радиус этой окружности.
В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС вершины А, В и точка пересечения высот треугольника Е лежат на окружности, которая пересекает отрезок ВС в точке D.
а) Докажите, что треугольник ADC равнобедренный.
б) Найдите радиус окружности, если CD = 4, BD = 5.
Окружность с центром на диагонали АС трапеции ABCD (BC || AD) проходит через вершины А и В, касается стороны CD в точке С и пересекает основание AD в точке Е так, что 
AE = 8.
а) Найдите площадь трапеции ABCD.
б) Прямые CD и ВЕ пересекаются в точке Q. Найдите BQ.
Окружность радиуса 
касается прямой a в точке А, а прямой b в точке В так, что хорда АВ стягивает дугу окружности в 60°. Прямые a и b пересекаются в точке F. Точка С расположена на луче FA, а точка D — на луче BF так, что AC = BD = 2.
а) Докажите, что треугольник BAD — прямоугольный.
б) Найдите длину медианы треугольника CBD, проведенную из вершины D.
В треугольнике АВС сторона ВC больше стороны АC. Биссектриса CL пересекает описанную около треугольника АВС окружность в точке K. Окружность, описанная около треугольника АКL, вторично пересекает прямую АС в точке Р.
а) Докажите, что отрезки ВС и РС равны.
б) Найдите площадь треугольника АРК, если ВС = 6, АВ = 5, АС = 4.
На основании АС равнобедренного треугольника АВС расположена точка D так, что AD = 2, CD = 1. Окружности, вписанные в треугольники ABD и DBC, касаются прямой BD в точках M и N соответственно.
а) Найдите длину отрезка MN.
б) Докажите, что радиус окружности, вписанной в треугольник ABD, не может быть более чем в 2 раза больше радиуса окружности, вписанной в треугольник DBC.
Пятиугольник ABCDE вписан в окружность единичного радиуса. Известно, что 
угол 
угол 
а) Докажите, что центр окружности лежит на одной из диагоналей пятиугольника.
б) Найдите площадь пятиугольника.
В треугольнике ABC известно, что AB = AC = 10, BC = 12. На стороне AB отметили точки M1 и M2 так, что AM1 < AM2. Через точки M1 и M2 провели прямые, перпендикулярные стороне AB и отсекающие от треугольника ABC пятиугольник, в который можно вписать окружность.
а) Докажите, что AM1 : BM2 = 1 : 3.
б) Найдите площадь данного пятиугольника.
В окружности с центром О построен правильный шестиугольник KOFPDL так, что его вершина D лежит на окружности. Из точки B, диаметрально противоположной точке D, проведены две хорды AB и BC, проходящие через вершины K и F шестиугольника соответственно.
а) Докажите, что 
б) Найдите площадь треугольника ABC, если радиус окружности
В остроугольном треугольнике ABC отмечены H — ортоцентр и M — середина BC. Пусть радиус описанной окружности треугольника ABC равен R.
а) Докажите, что 
б) Пусть дополнительно известно, что 
и что 
Найдите R.
Точка О — центр окружности, описанной около треугольника АВС, а ВН — высота этого треугольника.
а) Докажите, что биссектриса угла В является также биссектрисой угла ОВН.
б) Найдите площадь треугольника АВС, если 
высота 
и биссектриса 
Тогда по теореме Пифагора из ΔADE получаем:
тогда 
(рис. 1).
Так как 
— центр окружности, описанной около 
— центр окружности, описанной около 
(Рис. 2).
и 
которые являются радиусами названных окружностей. 
где 
по теореме Пифагорa получим: 
аналогично 
б) 17.
), то есть получается, что BO — гипотенуза и диаметр малой окружности с центром в точке E. Далее, треугольник BTO вписан в малую окружность, а его угол BTO опирается на диаметр, и потому равен 
Так как 
и O является центром окружности, описанной вокруг треугольника ABC, то OT — серединный перпендикуляр, то есть T — середина AB. Значит, TR — средняя линия треугольника ABC, поэтому TR || AC. 
(как соответственные при параллельных прямых). В итоге получаем:
— равносторонний (так как все углы по 
), то есть EM = ED = MD = x. Так как в прямоугольном треугольнике CED против угла в 30° лежит катет, в 2 раза меньший гипотенузы, то CD = 2x. Получили, что так как DM = x, точка M является серединой гипотенузы CD, то есть EM — медиана ΔCED. Что и требовалось доказать.
Тогда по теореме Пифагора из ΔADE получаем:
откуда 
Тогда
откуда 
Выразим различными способами площадь треугольника ABC.
), получим: 
Известно, что в четырехугольник можно вписать окружность в том и только в том случае, если суммы противолежащих сторон этого четырехугольника равны. Следовательно, MN + BC = AM + CN. Поскольку по условию задачи MN — средняя линия треугольника АВС, то 
Тогда ВM + CN = BC + MN = 9,5 + 4,75 = 14,25. В таком случае также будет выполнено условия: АМ + АN = 14,25, АВ + АС = 2 · 14,25 = 28,5.
Пусть AC = x, тогда 
В 
(не подходит, так как 28,5 − 18,5 = 10, в таком случае 18,5 не есть дина меньшей из боковых сторон).
что и требовалось доказать.
Откуда:
Это с одной стороны.
то:
(как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу), а 
как углы равнобедренного треугольника ADC, то 
Кроме того, у треугольников ABC и AEC есть общий угол C, поэтому они подобны по двум углам.
то есть 
откуда 
и 
(опираются на дугу BC), 
(как вертикальные), отсюда 
то есть треугольник DEM равнобедренный. Далее 
поэтому треугольник EMC тоже равнобедренный. Итак, 
значит, EM — медиана CDE.
и поэтому в треугольнике EAB имеем 
Тогда 
и 
за 
точку пересечения высот треугольника KLM за H, центр описанной окружности треугольника KMH за O. 
точка O лежит выше прямой KM и, значит, на той же дуге KM описанной окружности KLM, что и точка L. Поэтому 
C другой стороны, в описанной окружности треугольника KMH это центральный угол, опирающийся на ту же дугу, что и вписанный угол KHM. Значит, 
откуда 
Тогда 
То есть это одна и та же окружность. Значит, все четыре точки лежат на одной окружности.
По усиленной теореме синусов в треугольнике ABC имеем 
откуда 
и 
Рассмотрим три случая. 
Отсюда 
Отсюда
Получаем:
по теореме синусов.
не подходит по смыслу задачи. 
или 
и 
а расстояние между их проекциями на эту прямую равно d. Тогда расстояние между точками равно 
и 
а все отрезки на сторонах равны 
а перпендикуляры на меньший катет падают на расстояниях 2 и 
от вершины прямого угла, и расстояние между ними будет 
По лемме расстояние получится 
а перпендикуляры на меньший катет падают на расстояниях 2 и 6 от вершины прямого угла, и расстояние между ними будет 4. 
а перпендикуляры на меньший катет падают на расстояниях 3 и 
от вершины большего острого угла, и расстояние между ними будет 
и 
(вписанные углы, опирающиеся на одну дугу), треугольники LKF и MNF подобны с коэффициентом 
Пусть 
Тогда 
или 
откуда 
то 
и все вычисления дают радиус окружности, описанной треугольника около FLM, который подобен треугольнику KFN с коэффициентом 
Значит, радиус окружности, описанной около KFN, равен 
или 
Тогда треугольники 
и DCB равны по двум сторонам 
и углу между ними. Равенство углов следует из равенства дуг 
стягиваемых равными хордами. Тогда равны дуги 
и 
а значит, равны и опирающиеся на них вписанные углы.
При этом точка 
Значит, точка 
— прямоугольный, с гипотенузой АВ. В таком случае АВ — диаметр окружности S. Значит, радиус этой окружности 
— центры искомых окружностей, лежат на прямой OD. 
где l — длина хорды, в нашем случае l = АС = 12. 
Итак, АС и диаметр окружности S — две хорды этой же окружности, пересекающиеся в точке D. Для них выполнимо: 
или 
или 
в точке M и основание 
в точке N. Обозначим также центр окружности за O, а точку пересечения диагоналей за T. Имеем тогда
поэтому и их высоты из точки T относятся также, откуда 
Наконец, 
соответственно 
то есть точка T лежит с той же стороны от центра, что и меньшее основание трапеции, поэтому 
и 
центры меньшей и большей окружностей, а за B и C — лежащие на них вершины треугольника соответственно. Пусть далее 
тогда 
не треугольник. Проверка этого случая показывает, что такая ситуация воможна — точки A и O2 (лежащая на меньшей окружности) являются сторонами равностороннего треугольника со стороной 2, третья вершина которого лежит на большей окружности.
или 2.
(равные хорды стягивают равные дуги, углы опирающиеся на равные дуги, равны), откуда ABCD — равнобедренная трапеция. Ее высота равна 
Искомая окружность тогда — описанная окружность треугольника DAC. Найдем ее радиус по формуле
), рисунок слева (для экономии места изображена часть окружности). Тупой вписанный угол, опирающийся на дугу AC, находится как разность 
и острого вписанного угла: тогда 
Далее аналогично первому случаю: из треугольника ABC получаем: 
Из треугольника AMC получим:
в противном случае 
а это противоречит условию.
по теореме Пифагора 
то 
Точка Р совпадет с точками пресечения окружности с осью ординат.
Найдем абсциссы точки Р. 
Так как абсцисса точки Р будет равна 
то искомое расстояние либо равно 
(не подходит), либо 
(удовлетворяет условию задачи).
поскольку они оба равны 
— один как накрест лежащий, второй — как угол при биссектрисе.
как касательные к вписанной окружности треугольника ABE. Тогда треугольники BMH и BAE подобны (
общий, 
) и 
откуда 
тогда коэффициент подобия треугольников BMH и BAE равен 
Тогда 
то есть 
откуда 
и 
(см. рис.). 
У него две противолежащие стороны 
и 
равны 2r. Так как 
по построению, то 
Значит, 
— параллелограмм по признаку параллелограмма. 
этого параллелограмма прямой по построению, значит, 
А это значит, что прямая 
будет касательной к обоим окружностям, следовательно, совпадет с прямой DC. Таким образом, AB || CD, что и требовалось доказать. 
см. рис.) 
как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AB, DC и секущей AF. Значит, 
Отсюда: 
— равнобедренный, т. е. DA = DF. Аналогично получим: BC = BE.
не выполняется неравенство b > c.
не выполняется неравенство a > c.
то 
не выполняется равенство (*). Следовательно, равенство (*) будет иметь место только при выполнении равенства a = b = c. 
то опирающийся на ту же дугу вписанный угол равен 
а вписанный угол, опирающийся на ту же дугу с противоположной стороны, равен 
Выпишем теорему косинусов для треугольника ABC:
получим:
в самое первое выражение теоремы косинусов:
отсюда: 
как углы, заключенные между взаимно перпендикулярными прямыми. (2)
как вертикальные углы. (3)
Отсюда: DM = EM. Аналогично можно доказать, что CM = EM. Следовательно, EM — медиана треугольника CЕD.
в котором 
по теореме Пифагора: 
является вписанным в некоторую окружность 
опирающимся на ее диаметр ВС, т. е. 
что и требовалось доказать. 
(Здесь радиусы окружностей 
и 
окажутся параллельными как два перпендикуляра к прямой l.Соединим отрезком 
который пройдет через точку А. 
— прямоугольник, 
Значит, 
(СК есть высота 
проведенная к продолжению стороны 
(Отрезок ВК равен высоте 
проведенной к 
Пусть 
т. е. BM = MC + AM, что и требовалось доказать.
— это с одной стороны, а с другой же стороны 
по теореме косинусов:
MN и CD — не параллельны, четырехугольник NMDC — трапеция. Однако, любая трапеция, вписанная в окружность, непременно является равнобедренной. А у равнобедренной трапеции диагонали равны. 
Тогда 
(накрест лежащий с 
), 
(накрест лежащий с 
(поскольку точки лежат на окружности), и поэтому 
Тогда 
(из подобия треугольников ABX и BXC).
(из подобия треугольников BXC и XCD).
значит, 
(**)
что и требовалось доказать. 
что и требовалось доказать. 
или AD · BP = BC · DP, что и требовалось доказать.
Следовательно, 
т. е. 
откуда 
что и требовалось доказать.
А это значит, что
Тогда 
с одной стороны, 
— со стороны другой. Следовательно, 
или BC : AC = CP : AP, что и требовалось доказать.
По доказанному выше: 
значит,
Следовательно, 
Так как по условию 
то 
откуда 
что и требовалось доказать.
где 
Теперь нетрудно найти и радиус R окружноси, описанной около треугольника АМВ, который совпадет с радиусом окружности, описанной около четырехугольника АВМК. 
то есть ABMK — вписанная трапеция. Значит, она равнобедренная, то есть 
Тогда и 
тогда 
и 
точки касания окружностей: 
общую точку AC и окр. 
Q, проекцию точки P на AC — 
Соединим центры окружностей отрезками. Пусть радиус окружностей равен 
Он равносторонний, поскольку каждая его сторона равна 
Стороны треугольника MNP являются средними линиями треугольника 
следовательно, каждая его сторона будет равна r, что и требовалось доказать. 
Следовательно, 
а это значит, что 
то есть 
площадь ромба 
Надо показать следующее:
откуда 
Значит, во всех остальных случаях высота OH будет только меньше, чем 0.5. Таким образом, доказали, что 
и из прямоугольного треугольника BOC найдем: 
и 
: так как 
обозначим 
откуда получим по основному тригонометрическому тождеству:
Из прямоугольного треугольника 
получим:
(а следовательно, и r) наибольшая, когда максимально значение выражения 
Можно заметить, что 
— это парабола с ветвями, направленными вниз. Тогда вершина параболы находится по формуле 
Тогда:
Если OD = t, то AO = 2t. А также: 
Таким образом, 
Тогда по теореме Пифагора находим 
Значит, 
и 
Рассматривая аналогично остальные стороны EFGH, получаем, что это параллелограмм и даже прямоугольник (так как 
). Значит, его площадь равна:
тогда 
по теореме косинусов: 
по той же теореме: 
откуда искомая высота равна 
то равны и дуги AB и CD, а значит и опирающиеся на них углы 
и 
Поэтому накрест лежащие углы, образованные сторонами BC и AD с секущей BD, равны. Поэтому ABCD — трапеция. Ее боковые стороны равны по условию.
Опустим перпендикуляры BE и CF на сторону AD. Тогда 
аналогично 
поэтому 
Поэтому 
тогда 
и 
что и требовалось доказать.
(по теореме о пересекающихся хордах). Тогда высота равнобедренного треугольника CDK равна 
или 
и 
Тогда 
значит,
значит, 
Поэтому
Опустим высоты BE и CF на основание AD. Тогда 
Поскольку трапеция описанная и равнобедренная, то 
Очевидно, что диаметр окружности равен расстоянию между основаниями трапеции, то есть как раз найденной высоте.
а радиус, следовательно, равен 6. Боковая сторона трапеции равна 13. Поскольку верхнее основание поделено точкой касания на отрезки длиной 4, а нижнее — на отрезки длиной 9, боковая сторона поделена на отрезки длиной 4 и 9.
Тогда его длина равна 
поэтому его площадь равна 
Как известно, треугольники ABD и BCD подобны с коэффициентом 
и в таком же отношении находятся их радиусы вписанных окружностей. Значит, 
Тогда 
Тогда если r — радиус вписанной окружности и 
Вычислим площадь треугольника ABC двумя способами:
Найдем радиус вписанной окружности. 
и катеты треугольника 
Заметим также, что 
тогда 
а 
Поскольку 
а 
по теореме Пифагора для треугольника ABC имеем
(поскольку центр описанной окружности — середина гипотенузы). Тогда прямая OP, проходящая через нее, имеет уравнение 
Расстояние от точки 
до этой прямой должно быть равно трем, откуда
(значение 
дает прямую AB).
Значит, координаты точки P — 
точки M, A и B лежат на одной прямой, значит, отрезок CM — высота треугольника ABC (см. рис.).
как хорды стягивающие равные дуги. Таким образом, 
(из вписанности), откуда 
и ABCD — ромб.
Опустим также перпендикуляры HE и HF на AO и BO. Тогда прямоугольник EHFO по площади ровно в 4 раза меньше, чем требуемый четырехугольник (он состоит из четырех таких прямоугольников). Тогда
Тогда 
поскольку 
тогда 
и 
по теореме о вписанном угле. Аналогично 
то есть 
По признаку вписанноти чеырехугольника BMCO — вписанный. Центр его описанной окружности и есть искомая точка.
поэтому точка M лежит вне треугольника, порядок точек именно такой и признаком пользоваться можно).
Следовательно, 
Теперь применим теорему синусов
длина диаметра окружности также равна 
откуда
тогда 
как угол между касательной и хордой. Тогда 
поэтому реугольник ADE равнобедренный, что и требовалось.
тогда по теореме косинусов имеем 
и по свойству биссектрисы 
откуда 
находим 
на сторону AC и обозначим их 
соответственно. Тогда
(поскольку 
K — середина BC и 
и 
и 
мы знаем все стороны, кроме 
Найдем ее
лежат на одной окружности. Но тогда 
По свойству описанного четырехугольника 
По теореме Пифагора для треугольника CHD находим 
откуда 
Далее, треугольники BEC и DEA подобны с коэффициентом 
Но для точки O это тоже верно, поскольку радиус окружности равен 
поскольку BD — диаметр окружности. Значит, в треугольнике CBD точка P — точка пересечения высот, поэтому 
Тогда 
откуда и следует описанность четырехугольника 
Пусть H - основание высоты из A на 
Тогда 
Тогда по свойству пересекающихся хорд 
откуда 
и 
Далее, 
поэтому 
По теореме косинусов найдем
Тогда из прямоугольных треугольников EHC и EGA получаем 
Поэтому: 
откуда 
и 
и расстояние между центрами равно:
б) 
откуда 
тогда 
или 
Воспользуемся тем, что AD > BC. Если сдвигать точку A к точке D, точка M будет перемещаться по дуге в сторону точки D, таким образом, дуга NBM будет увеличиваться. В тот момент, когда основания станут равны, точки M и N станут симметричны относительно середины отрезка BD, то есть станут диаметрально противоположны. Итак, если увеличивать дугу NBM, то она станет полуокружностью, значит, на исходной картинке она меньше полуокружности, поэтому 
Таким образом, 
Высота трапеции равна диаметру окружности: 
Пусть длина верхнего основания трапеции равна а, а длина нижнего равна b, из выражения для площади трапеции находим, что: 
а 
В прямоугольном треугольнике CBD находим: 
В прямоугольном треугольнике ADB находим: 
Угол MDC, равный сумме углов CBD и ADB, опирается на ту же хорду, что и угол MBC, но его вершина лежит по другую сторону от этой хорды, поэтому 
Следовательно, 
Подставляя значения тангенсов, находим:
получаем:
тогда 
прямая AC параллельна прямой TB и 
Кроме того 
и 
поэтому треугольники TBC и DCK равны по первому признаку. Значит, 
и 
являются средними линиями треугольников BDA и AKB соответственно и равны 
и 
Вычислим BD по теореме косинусов из треугольника BCD, в котором 
и 
из такого же треугольника ACK.
(первый — угол между касательной и хордой, второй — вписанный угол) и 
(вписанные, опирающиеся на одну дугу). Значит,
поэтому треугольники подобны по двум углам.
Кроме того, 
из параллельности. Значит, 
поэтому BC — касательная к окружности. Тогда высота CH трапеции является частью диаметра окружности и, следовательно, проходит через середину хорды ND, откуда 
Из теоремы синусов для треугольника CDN имеем 
откуда 
то есть 
Тогда 
углы BDC и BCD равны. Углы EBC и DAC равны как вписанные углы. Угол EAD равен углу ABD как угол между касательной и хордой. Пусть 
тогда:
и 
Значит, треугольники FAK и HBK подобны по двум углам и треугольники KAH и KBE подобен по двум углам. Таким образом,
Значит,
Пусть P и Q — проекции точек O и O1 соответственно на прямую BA1. Точка P — середина BE, точка Q — середина A1E, тогда
значит, FD — диаметр, а 
тогда 
Значит, 
откуда 
Таким образом, 
а тогда 
откуда 
б) 
Следовательно, в треугольнике DAC биссектриса и высота, проведенные к DC, совпали. Таким образом, сторона DA равна стороне CA.
а значит, и 
Теперь найдем радиус окружности, описанной около треугольника ABD:
Следовательно, DE = 18.
Значит:
отсюда следует 
то 
откуда 
Далее, 
откуда 
как вписанные (опираются на дугу АС).
как вписанные (опираются на дугу AL). Тогда 
и треугольники PCL и BCL равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Следовательно, 
Треугольники ALK и CLB подобны по двум углам, тогда 
Кроме того, по свойству биссектрисы 
(1); 
получаем 
Обозначим угол 
Тогда 
Заметим, что площадь треугольника ABD равна двум площадям BDC. Получим:
то есть 
Тогда угол AEB равен 45°, откуда угол BAE равен 90°. Следовательно, BE — диаметр окружности.
Далее найдем:
Площадь треугольника ABC можно вычислить, например, по формуле Герона, получится 48. Тогда радиус вписанной окружности равен 
отсюда 
M2E = 4 и площадь треугольника BM2E равна 6. Обозначим вершину пятиугольника, лежащую на отрезке AC, буквой F. Заметим, что 
и площадь треугольника AM1F равна 
Отсюда площадь искомого пятиугольника равна 
и 
Пусть точка E — середина FK, тогда 
и 
Значит, 
следовательно, 
Так как 
то
поэтому 
и, значит, 
По неравенству треугольника 
Что и требовалось доказать. 
то центр описанной окружности лежит на медиане AM. Тогда треугольник ABC равнобедренный: 
Углы CBH и CAM равны, поэтому равны углы MBH и MAB. Следовательно, треугольники MBH и MAB подобны. Получаем, что 
Пусть точка O — центр описанной около ABC окружности. Тогда по теореме Пифагора 
то есть 
Решая это уравнение, получаем ответ: R = 7. 
откуда 
а 
Следовательно, точка O действительно ближе к точке M, чем точка H.
Тогда из равнобедренного треугольника BOC 
и 
Углы BAC и BOC опираются на одну дугу, поэтому 
В прямоугольном треугольнике ABH:
Пусть 
По свойству биссектрисы в треугольнике HBO получаем:
