Равносторонний треугольник ABC и три одинаковые окружности расположены таким образом, что каждая окружность касается двух сторон треугольника и двух других окружностей.
а) Докажите, что точки попарного касания окружностей являются вершинами равностороннего треугольника.
б) Найдите радиус окружностей, если известно, что AB = 4.
а) Обозначим: центы окружностей
точки касания окружностей: 
общую точку AC и окр. 
Q, проекцию точки P на AC — 
Соединим центры окружностей отрезками. Пусть радиус окружностей равен 
Рассмотрим треугольник 
Он равносторонний, поскольку каждая его сторона равна 
Стороны треугольника MNP являются средними линиями треугольника 
следовательно, каждая его сторона будет равна r, что и требовалось доказать.
б) Поскольку каждая заданная окружность вписана в один из углов равностороннего треугольника ABC, их центры лежат на соответствующих биссектрисах треугольника 
Следовательно, 
а это значит, что 
Очевидно, что
это — с одной стороны.
Это — с другой стороны. Значит,
Ответ: 