а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ сто­ро­на AB ос­но­ва­ния равна 12, а вы­со­та приз­мы равна 2. На рёбрах B₁C₁ и AB от­ме­че­ны точки P и Q со­от­вет­ствен­но, причём PC₁  =  3, а AQ  =  4. Плос­кость A₁PQ пе­ре­се­ка­ет ребро BC в точке M.

а)  До­ка­жи­те, что точка M яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной ребра BC.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки B до плос­ко­сти A₁PQ.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

На ка­те­тах AC и BC пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC как на диа­мет­рах по­стро­е­ны окруж­но­сти, вто­рой раз пе­ре­се­ка­ю­щи­е­ся в точке M. Точка Q лежит на мень­шей дуге MB окруж­но­сти с диа­мет­ром BC. Пря­мая CQ вто­рой раз пе­ре­се­ка­ет окруж­ность с диа­мет­ром AC в точке P.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые PM и QM пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те PQ, если AM  =  1, BM  =  3, а Q  — се­ре­ди­на дуги MB.

В июле 2016 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке в раз­ме­ре S тыс. руб­лей, где S  — на­ту­раль­ное число, на 3 года. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы

− каж­дый ян­варь долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на 15% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

− с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить одним пла­те­жом часть долга;

− в июле каж­до­го года долг дол­жен со­став­лять часть кре­ди­та в со­от­вет­ствии со сле­ду­ю­щей таб­ли­цей.

Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние S, при ко­то­ром каж­дая из вы­плат будет со­став­лять целое число тысяч руб­лей.

Най­ди­те все зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет ровно три раз­лич­ных ре­ше­ния.

По­сле­до­ва­тель­ность со­сто­ит из не­от­ри­ца­тель­ных од­но­знач­ных чисел. Пусть M_k  — сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех чле­нов этой по­сле­до­ва­тель­но­сти, кроме k-го. Из­вест­но, что M₁  =  1, M₂  =  2.

а)  при­ве­ди­те при­мер такой по­сле­до­ва­тель­но­сти, для ко­то­рой M₃  =  1,5.

б)  су­ще­ству­ет ли такая по­сле­до­ва­тель­ность, для ко­то­рой M₃  =  3?

в)  Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние M₃.