Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Точка О — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника АВС.
На луче АО отмечена точка М так, что 
а) Докажите, что существует точка Р, одинаково удаленная от точек В, О, С, М.
б) Найдите расстояние от точки Р до точки М, если известно, что 
и ВС = 15.
Решение.
Спрятать критерии
Пусть
Тогда 
поскольку 
тогда 
и 
по теореме о вписанном угле. Аналогично 
Далее 
Кроме того, 
то есть 
По признаку вписанноти чеырехугольника BMCO — вписанный. Центр его описанной окружности и есть искомая точка.
(Заметим, что 
поэтому точка M лежит вне треугольника, порядок точек именно такой и признаком пользоваться можно).
б) 
Ответ: б) 15.
Методы геометрии: Теорема синусов, Углы в окружностях {центр., впис., опирающиеся на одну дугу}
Классификатор планиметрии: Комбинации фигур, Окружность, описанная вокруг четырехугольника