Окружность, проходящая через вершины A, C и D прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC, пересекает меньшую боковую сторону AB в точке P и касается прямой BC. Известно, что AD = CD.
а) Докажите, что CP — биссектриса угла ACB.
б) В каком отношении прямая DP делит площадь трапеции?
a) Пусть O — центр окружности. Прямая OC перпендикулярна касательной BC, а так как хорда AD параллельна BC, прямая OC перпендикулярна прямой AD. Диаметр CC1 перпендикулярен хорде AD, а значит, делит её пополам. Высота треугольника ACD является его медианой, значит, треугольник равнобедренный, AC = CD, а так как AD = CD, треугольник равносторонний. Тогда
Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что 
Следовательно, CP — биссектриса угла ACB.
б) Пусть 
Тогда 
значит,
По свойству биссектрисы треугольника 
значит, 
Поэтому
Следовательно,
Ответ: 4 : 5.