Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д15 C4 № 505685

В треугольнике ABC точка O  — центр описанной окружности, точка R лежит на отрезке BC и BR = RC. Описанная около треугольника BRO окружность пересекает AB в точке T.

а)  Докажите, что TR || AC.

б)  Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что угол BOR равен 30°, RT = 8, BT = 6.

Спрятать решение

Решение.

а)  Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров. Покажем, что точка T является серединой стороны AB. Во-первых, треугольник BOR является прямоугольным (так как R  — середина BC, то OR  — серединный перпендикуляр, поэтому \angleBRO = 90 градусов), то есть получается, что BO  — гипотенуза и диаметр малой окружности с центром в точке E. Далее, треугольник BTO вписан в малую окружность, а его угол BTO опирается на диаметр, и потому равен 90 градусов. Так как OT\perp AB, и O является центром окружности, описанной вокруг треугольника ABC, то OT  — серединный перпендикуляр, то есть T  — середина AB. Значит, TR  — средняя линия треугольника ABC, поэтому TR || AC.

б)  Из предыдущего пункта получаем, что AC = 2TR = 16, AB = 2TB = 12. Углы ROB и RTB опираются на одну и ту же дугу RB, поэтому они равны. Отсюда получаем, что \angleBAC = \angleBTR = 30 градусов (как соответственные при параллельных прямых). В итоге получаем:

S_ABC = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на AB умножить на AC умножить на синус \angle BAC = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 12 умножить на 16 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби = 48.

Ответ: 48.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б.3
Получен обоснованный ответ в пункте б.

ИЛИ

Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а.

ИЛИ

При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

ИЛИ

Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 505685: 549190 Все

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 55.