Из точки M, взятой на окружности с центром в точке О, на диаметры AB и СD опущены перпендикуляры MK и MP соответственно.
а) Докажите, что существует точка, одинаково удалённая от точек M, О, P, K.
б) Найдите площадь треугольника MKP, если известно, что ∠MKP = 30°, ∠AOC = 15°, а радиус окружности равен 4.
а) По условию задачи ∠MPO = ∠MKO = 90°. А это значит, что прямоугольные треугольники MPO и MKO имеют общую гипотенузу MO, что в свою очередь означает: точки M, O, P, K принадлежат окружности с центром в середине отрезка MO и радиусом, равным половине длины отрезка MO. Обозначим ее (окружность) ω.
Из сказанного немедленно следует, что существует точка, равноудаленная от точек M, O, P, K, которая является центром окружности ω.
б) ∠MOP = ∠MKP как два вписанных угла, опирающиеся на дугу CmM. Следовательно, ∠MKP = 30°. Но в ΔMPO, где 
В прямоугольном ΔOKM:
В четырехугольнике MOPK, вписанном в окружность ω, по теореме Птолемея имеем: 
то есть
Ответ: 