Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д15 C4 № 508110
i

Хорда AB стя­ги­ва­ет дугу окруж­но­сти, рав­ную 120°. Точка С лежит на этой дуге, а точка D лежит на хорде AB. При этом AD = 2, BD = 1, DC = ко­рень из 2 .

а)  До­ка­жи­те, что угол ADC равен дробь: чис­ли­тель: зна­ме­на­тель: p конец дроби i6.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

 

а)  Так как цен­траль­ный угол AOB равен 120 гра­ду­сов, то опи­ра­ю­щий­ся на ту же дугу впи­сан­ный угол равен 60 гра­ду­сов, а впи­сан­ный угол, опи­ра­ю­щий­ся на ту же дугу с про­ти­во­по­лож­ной сто­ро­ны, равен \angle ACB = 180 гра­ду­сов минус 60 гра­ду­сов = 120 гра­ду­сов. Вы­пи­шем тео­ре­му ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка ABC:

AB в квад­ра­те = AC в квад­ра­те плюс BC в квад­ра­те минус 2 умно­жить на AC умно­жить на BC умно­жить на ко­си­нус \angle ACB\Rightarrow

x в квад­ра­те плюс y в квад­ра­те плюс xy = 9.

Те­перь на­пи­шем тео­ре­му ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ков ADC и BDC со­от­вет­ствен­но:

AC в квад­ра­те = AD в квад­ра­те плюс CD в квад­ра­те минус 2 умно­жить на AD умно­жить на CD умно­жить на ко­си­нус \angle ADC \Rightarrow

y в квад­ра­те = 4 плюс 2 минус 2 умно­жить на 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус альфа рав­но­силь­но y в квад­ра­те = 6 минус 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус альфа .

 

BC в квад­ра­те = BD в квад­ра­те плюс CD в квад­ра­те минус 2 умно­жить на BD умно­жить на CD умно­жить на ко­си­нус \angle BDC \Rightarrow

x в квад­ра­те = 1 плюс 2 плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус альфа рав­но­силь­но x в квад­ра­те = 3 плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус альфа .

Вы­пи­шем еще тео­ре­му си­ну­сов для тре­уголь­ни­ков ABC и ADC со­от­вет­ствен­но:

дробь: чис­ли­тель: BC, зна­ме­на­тель: синус \angle BAC конец дроби = дробь: чис­ли­тель: AB, зна­ме­на­тель: синус \angle ACB конец дроби \Rightarrow дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: синус бета конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та /2 конец дроби \Rightarrowx = 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та синус бета рав­но­силь­но синус бета = дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

дробь: чис­ли­тель: AC, зна­ме­на­тель: синус \angle ADC конец дроби = дробь: чис­ли­тель: DC, зна­ме­на­тель: синус \angle DAC конец дроби \Rightarrow дробь: чис­ли­тель: y, зна­ме­на­тель: синус альфа конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: синус бета конец дроби .

Под­став­ляя во вто­рое вы­ра­же­ние синус бета , по­лу­чим:

дробь: чис­ли­тель: y, зна­ме­на­тель: синус альфа конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: x конец дроби \Rightarrowxy = 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та синус альфа .

Оста­лось под­ста­вить по­лу­чен­ные вы­ра­же­ния для x в квад­ра­те ,y в квад­ра­те и xy в самое пер­вое вы­ра­же­ние тео­ре­мы ко­си­ну­сов:

x в квад­ра­те плюс y в квад­ра­те плюс xy = 9\Rightarrow3 плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус альфа плюс 6 минус 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус альфа плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та синус альфа = 9 рав­но­силь­но

минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус альфа плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та синус альфа = 0 рав­но­силь­но ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та синус альфа = ко­си­нус альфа \Rightarrow тан­генс альфа = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби \Rightarrow альфа = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби .

Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

 

 

б)  Вос­поль­зу­ем­ся преды­ду­щим пунк­том для по­ис­ка пло­ща­ди:

S_ABC = S_ADC плюс S_BDC = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби AD умно­жить на DC умно­жить на синус альфа плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби DB умно­жить на DC умно­жить на синус левая круг­лая скоб­ка 180 гра­ду­сов минус альфа пра­вая круг­лая скоб­ка =
= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 2 умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та умно­жить на синус 30 гра­ду­сов плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 1 умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та умно­жить на синус 150 гра­ду­сов = дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

 

Ответ:S_ABC = дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б.3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б.

ИЛИ

Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а.

ИЛИ

При обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

ИЛИ

Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б и ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а, при этом пункт а не вы­пол­нен.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 87
Методы геометрии: Тео­ре­ма ко­си­ну­сов, Тео­ре­ма си­ну­сов
Классификатор планиметрии: Ком­би­на­ции фигур, Окруж­но­сти, Окруж­но­сти и четырёхуголь­ни­ки
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025