Даны треугольник ABC и ромб BDEF, все вершины которого лежат на сторонах треугольника ABC, а угол при вершине E — тупой, 
а радиус окружности, вписанной в ромб, равен 1.
а) Найдите площадь треугольника ABC.
б) Найдите расстояние между центром окружности, вписанной в ромб, до центра окружности, вписанной в треугольник ABC.
Поскольку
угол ABC — тупой. Значит, остальные углы треугольника острые. Высота ромба равна удвоенному радиусу окружности, поэтому 
Тогда из прямоугольных треугольников EHC и EGA получаем 
Поэтому:
По теореме синусов для треугольника ABC получаем 
откуда 
и
б) Центры обеих окружностей лежат на биссектрисе угла B. Кроме того, центр вписанной окружности ромба лежит на BE, Значит, это и есть биссектриса. Очевидно этот центр — середина BE. Проведем теперь биссектрису угла C (она пройдет через центр вписанной окружности треугольника). Она поделит BE в отношении
Поэтому расстояние от центра вписанной окружности треугольника до B равно 
и расстояние между центрами равно:
Вычислим теперь BE из треугольника BCE по теореме косинусов:
Окончательно:
Ответ: а) 
б) 