СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 505927

В треугольнике АВС АС = 12, ВС = 5, АВ = 13. Вокруг этого треугольника описана окружность S. Точка D является серединой стороны АС. Построена окружность S1, касающаяся окружности S и отрезка АС в точке D. Найдите радиус окружности S1.

Решение.

12, 5, 13 – пифагоровы числа, следовательно, — прямоугольный, с гипотенузой АВ. В таком случае АВ — диаметр окружности S. Значит, радиус этой окружности

Через точку D можно провести две окружности, удовлетворяющие условию задачи.

Пусть О — центр окружности S. Проведем прямую через точки O и D.Очевидно, что прямая OD — ось симметрии как окружности S, так и искомых окружностей. Следовательно, точки — центры искомых окружностей, лежат на прямой OD.

Хорда АС окружности S делит круг окружности S на два сегмента, половины высот которых являются искомыми радиусами. Вычислим эти высоты по формуле: где l — длина хорды, в нашем случае l = АС = 12.

Замечание:

Если x — один из искомых радиусов, то радиус другой окружности равен Итак, АС и диаметр окружности S — две хорды этой же окружности, пересекающиеся в точке D. Для них выполнимо: или

Проверка показывает, что эти значения х и есть искомые радиусы.

 

Ответ: 2 или 4,5.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 14.
Методы геометрии: Свойства хорд
Классификатор планиметрии: Комбинации фигур, Окружности, Окружности и системы окружностей, Окружность, описанная вокруг треугольника