Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

В тра­пе­цию ABCD c ос­но­ва­ни­я­ми ВС и AD впи­са­на окруж­ность с цен­тром О, СН  — вы­со­та тра­пе­ции, Е  — точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей.

а)  До­ка­жи­те, что \angle OHC= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \angle ADC.

б)  Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка СЕОН, если из­вест­но, что \angle BAD=90 гра­ду­сов, BC  =  9, AD  =  18.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  По­сколь­ку точка O рав­но­уда­ле­на от всех сто­рон тра­пе­ции, CO и DO  — бис­сек­три­сы ее углов, по­это­му \angle COD=180 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка минус \angle OCD минус \angle ODC=180 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка \angle BCD плюс \angle ADC пра­вая круг­лая скоб­ка =180 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка минус 90 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка =90 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка =\angle CHD, от­ку­да сле­ду­ет, что C,O,H,D лежат на одной окруж­но­сти. Но тогда \angle OHC=\angle ODC= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \angle ADC.

 

б)  Обо­зна­чим ра­ди­ус окруж­но­сти за r, тогда AB=CH=2r,HD=9. По свой­ству опи­сан­но­го че­ты­рех­уголь­ни­ка CD=27 минус 2r. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра для тре­уголь­ни­ка CHD на­хо­дим 4r в квад­ра­те плюс 81= левая круг­лая скоб­ка 27 минус 2r пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те , от­ку­да r=6, AB=12, CD=15. Далее, тре­уголь­ни­ки BEC и DEA по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . По­это­му если спро­еци­ро­вать точку E на пря­мую AD (на­зо­вем про­ек­цию точ­кой T), рас­сто­я­ние от про­ек­ции до A со­ста­вит 6. Но для точки O это тоже верно, по­сколь­ку ра­ди­ус окруж­но­сти равен 6. Зна­чит, EO\parallel CH.

S_CHOE= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка CH плюс OE пра­вая круг­лая скоб­ка d левая круг­лая скоб­ка O,HC пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 12 плюс ET минус OT пра­вая круг­лая скоб­ка TH= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 12 плюс дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби CH минус 6 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 3=21

Ответ: б) 21.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б.3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б.

ИЛИ

Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а.

ИЛИ

При обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

ИЛИ

Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б и ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а, при этом пункт а не вы­пол­нен.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 238
Классификатор планиметрии: Ком­би­на­ции фигур, Окруж­ность, впи­сан­ная в че­ты­рех­уголь­ник, Окруж­ность, опи­сан­ная во­круг че­ты­рех­уголь­ни­ка
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025