Дан выпуклый четырехугольник ABCD с прямым углом А. Окружность, проходящая через вершины А, В и D пересекает стороны ВС и CD в точках M и N соответственно. Прямые BN и DM пересекаются в точке Р, а прямая СР пересекает сторону AD в точке К.
а) Докажите, что точки А, М, Р и К лежат на одной окружности.
б) Найдите радиус этой окружности, если известно, что прямая СK параллельна прямой АМ и АВ = АК = KD = 
а) Заметим, что 
поскольку BD — диаметр окружности. Значит, в треугольнике CBD точка P — точка пересечения высот, поэтому 
Тогда 
откуда и следует описанность четырехугольника 
б) По условию и предыдущему пункту 
Пусть H - основание высоты из A на 
Тогда 
Тогда по свойству пересекающихся хорд 
откуда 
и 
Далее, 
поэтому 
По теореме косинусов найдем
Наконец, 
Ответ: б) 