Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д15 C4 № 528146

Продолжение высоты BH пересекает описанную вокруг треугольника ABC окружность ω в точке D, при этом BD = BC. На луче BD за точку D отмечена точка E такая, что EA касается ω в точке A.

а)  Докажите, что 3∠EBC + 2∠BEA = 180°.

б)  Найдите AE, если дополнительно известно, что \angle ABC=3 арксинус дробь: числитель: корень из 6, знаменатель: 6 конец дроби , а DC = 10.

Спрятать решение

Решение.

а)  Так как BD=BC, углы BDC и BCD равны. Углы EBC и DAC равны как вписанные углы. Угол EAD равен углу ABD как угол между касательной и хордой. Пусть  альфа =\angle BDC, тогда:

\angle DBC=180 градусов минус 2 альфа ,

\angle DCH=90 градусов минус альфа =\angle DAE,

\angle BEA=90 градусов минус \angle EAH=90 градусов минус левая круглая скобка 90 градусов минус альфа плюс 180 градусов минус 2 альфа правая круглая скобка =3 альфа минус 180 градусов.

Значит,

3\angle EBC плюс 2\angle BEA=3 левая круглая скобка 180 градусов минус 2 альфа правая круглая скобка плюс 2 левая круглая скобка 3 альфа минус 180 градусов правая круглая скобка =

=540 градусов минус 6 альфа плюс 6 альфа минус 360 градусов=180 градусов.

б)  Имеем:

\angle ABC=270 градусов минус 3 альфа =3 левая круглая скобка 90 градусов минус альфа правая круглая скобка .

Тогда:

90 градусов минус альфа = арксинус дробь: числитель: корень из 6, знаменатель: 6 конец дроби равносильно альфа = арккосинус дробь: числитель: корень из 6, знаменатель: 6 конец дроби равносильно косинус альфа = дробь: числитель: корень из 6, знаменатель: 6 конец дроби равносильно синус альфа = дробь: числитель: корень из 30, знаменатель: 6 конец дроби .

Далее, имеем:

AE= дробь: числитель: AH, знаменатель: косинус EAH конец дроби = минус дробь: числитель: AH, знаменатель: синус 3 альфа конец дроби = минус дробь: числитель: DH, знаменатель: тангенс DAH умножить на синус 3 альфа конец дроби = дробь: числитель: DH, знаменатель: тангенс 2 альфа синус 3 альфа конец дроби =

= дробь: числитель: CD умножить на синус DCH, знаменатель: тангенс 2 альфа умножить на синус 3 альфа конец дроби = дробь: числитель: CD умножить на косинус альфа , знаменатель: тангенс 2 альфа умножить на синус 3 альфа конец дроби = дробь: числитель: CD умножить на косинус альфа умножить на косинус 2 альфа , знаменатель: синус 2 альфа умножить на синус 3 альфа конец дроби = дробь: числитель: CD умножить на косинус 2 альфа , знаменатель: 2 синус альфа умножить на синус 3 альфа конец дроби

= дробь: числитель: 10 умножить на левая круглая скобка \dfrac6, знаменатель: 36 конец дроби минус \dfrac3036 правая круглая скобка 2 умножить на \dfrac корень из 306 умножить на левая круглая скобка 3 умножить на \dfrac корень из 306 минус 4 умножить на \dfrac30 корень из 30216 правая круглая скобка = = дробь: числитель: 10 умножить на \dfrac2, знаменатель: 3 конец дроби 2 умножить на \dfrac корень из 306 умножить на \dfrac12 корень из 30216=12.

Ответ: б) 12.

 

Примечание.

В решении использовались формулы двойных и тройных углов:

 синус 2 альфа =2 синус альфа косинус альфа ,

 косинус 2 альфа = косинус в квадрате альфа минус синус в квадрате альфа .

 синус 3 альфа =3 синус альфа минус 4 синус в кубе альфа ,

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б3
Получен обоснованный ответ в пункте б

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл3
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 284.