Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д15 C4 № 528146
i

Про­дол­же­ние вы­со­ты BH пе­ре­се­ка­ет опи­сан­ную во­круг тре­уголь­ни­ка ABC окруж­ность ω в точке D, при этом BD  =  BC. На луче BD за точку D от­ме­че­на точка E такая, что EA ка­са­ет­ся ω в точке A.

а)  До­ка­жи­те, что 3∠EBC + 2∠BEA  =  180°.

б)  Най­ди­те AE, если до­пол­ни­тель­но из­вест­но, что \angle ABC=3 арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби , а DC  =  10.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Так как BD=BC, углы BDC и BCD равны. Углы EBC и DAC равны как впи­сан­ные углы. Угол EAD равен углу ABD как угол между ка­са­тель­ной и хор­дой. Пусть альфа =\angle BDC, тогда:

\angle DBC=180 гра­ду­сов минус 2 альфа ,

\angle DCH=90 гра­ду­сов минус альфа =\angle DAE,

\angle BEA=90 гра­ду­сов минус \angle EAH=90 гра­ду­сов минус левая круг­лая скоб­ка 90 гра­ду­сов минус альфа плюс 180 гра­ду­сов минус 2 альфа пра­вая круг­лая скоб­ка =3 альфа минус 180 гра­ду­сов.

Зна­чит,

3\angle EBC плюс 2\angle BEA=3 левая круг­лая скоб­ка 180 гра­ду­сов минус 2 альфа пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2 левая круг­лая скоб­ка 3 альфа минус 180 гра­ду­сов пра­вая круг­лая скоб­ка =

=540 гра­ду­сов минус 6 альфа плюс 6 альфа минус 360 гра­ду­сов=180 гра­ду­сов.

б)  Имеем:

\angle ABC=270 гра­ду­сов минус 3 альфа =3 левая круг­лая скоб­ка 90 гра­ду­сов минус альфа пра­вая круг­лая скоб­ка .

Тогда:

90 гра­ду­сов минус альфа = арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби рав­но­силь­но альфа = арк­ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби рав­но­силь­но ко­си­нус альфа = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби рав­но­силь­но синус альфа = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 30 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби .

Далее, имеем:

AE= дробь: чис­ли­тель: AH, зна­ме­на­тель: ко­си­нус EAH конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: AH, зна­ме­на­тель: синус 3 альфа конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: DH, зна­ме­на­тель: тан­генс DAH умно­жить на синус 3 альфа конец дроби = дробь: чис­ли­тель: DH, зна­ме­на­тель: тан­генс 2 альфа синус 3 альфа конец дроби =

= дробь: чис­ли­тель: CD умно­жить на синус DCH, зна­ме­на­тель: тан­генс 2 альфа умно­жить на синус 3 альфа конец дроби = дробь: чис­ли­тель: CD умно­жить на ко­си­нус альфа , зна­ме­на­тель: тан­генс 2 альфа умно­жить на синус 3 альфа конец дроби = дробь: чис­ли­тель: CD умно­жить на ко­си­нус альфа умно­жить на ко­си­нус 2 альфа , зна­ме­на­тель: синус 2 альфа умно­жить на синус 3 альфа конец дроби = дробь: чис­ли­тель: CD умно­жить на ко­си­нус 2 альфа , зна­ме­на­тель: 2 синус альфа умно­жить на синус 3 альфа конец дроби

= дробь: чис­ли­тель: 10 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка \dfrac6, зна­ме­на­тель: 36 конец дроби минус \dfrac3036 пра­вая круг­лая скоб­ка 2 умно­жить на \dfrac ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 30 конец ар­гу­мен­та 6 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 3 умно­жить на \dfrac ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 30 конец ар­гу­мен­та 6 минус 4 умно­жить на \dfrac30 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 30 конец ар­гу­мен­та 216 пра­вая круг­лая скоб­ка = = дробь: чис­ли­тель: 10 умно­жить на \dfrac2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби 2 умно­жить на \dfrac ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 30 конец ар­гу­мен­та 6 умно­жить на \dfrac12 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 30 конец ар­гу­мен­та 216=12.

Ответ: б) 12.

 

При­ме­ча­ние.

В ре­ше­нии ис­поль­зо­ва­лись фор­му­лы двой­ных и трой­ных углов:

синус 2 альфа =2 синус альфа ко­си­нус альфа ,

ко­си­нус 2 альфа = ко­си­нус в квад­ра­те альфа минус синус в квад­ра­те альфа .

синус 3 альфа =3 синус альфа минус 4 синус в кубе альфа ,

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б и ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а, при этом пункт а не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 284
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025