Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д15 C4 № 505739

В треугольнике АВС AB = BC = 10, AC = 12. Биссектриса угла ВАС пересекает сторону BC в точке D и описанную около треугольника окружность в точке P.

а) Докажите, что ∠ABP = ∠BDP.

б) Найдите отношение площадей треугольников ADB и BDP.

Спрятать решение

Решение.

а) Угол ABP — вписанный. Он измеряется половиной градусной меры дуги АСР. Угол BDP как угол между двумя пересекающимися хордами окружности измеряется градусной мерой полусуммы дуг ВnР и АqС.

Но градусные меры дуг ВnР и РmС равны, поскольку на них опираются равные вписанные углы ВАР и САР. А сумма дуг AqC и CmP составляет дугу ACР.

Таким образом, углы ABP и BDP измеряются градусной мерой одной и той же дуги и одной и той же окружности. Значит, \angle ABP=\angle BDP, что и требовалось доказать.

б) Пусть ВD = x, тогда СD = 10 – х. По свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника будем иметь: AB : AC = BD : CD, т. е.

10:12=x: левая круглая скобка 10 минус x правая круглая скобка ;10 умножить на левая круглая скобка 10 минус x правая круглая скобка =12x равносильно 100 минус 10x=12x равносильно  равносильно 22x=100 равносильно x= дробь: числитель: 50, знаменатель: 11 конец дроби .

Итак, BD= дробь: числитель: 50, знаменатель: 11 конец дроби ;CD=10 минус дробь: числитель: 50, знаменатель: 11 конец дроби = дробь: числитель: 60, знаменатель: 11 конец дроби .

Вычислим длину биссектрисы AD треугольника АВС. Как известно, ее квадрат можно вычислить по формуле: AD в квадрате =AB умножить на AC минус BD умножить на CD.

AD в квадрате =120 минус дробь: числитель: 3000, знаменатель: 121 конец дроби = дробь: числитель: 120 умножить на 121 минус 3000, знаменатель: 121 конец дроби = дробь: числитель: 120 умножить на левая круглая скобка 121 минус 25 правая круглая скобка , знаменатель: 121 конец дроби = дробь: числитель: 120 умножить на 96, знаменатель: 121 конец дроби = дробь: числитель: 24 умножить на 24 умножить на 4 умножить на 5, знаменатель: 121 конец дроби .AD= дробь: числитель: 48 корень из 5, знаменатель: 11 конец дроби .

Известно также свойство двух пересекающихся хорд одной и той же окружности, согласно которому AD умножить на PD=BD умножить на CD. Откуда:

PD= дробь: числитель: BD умножить на CD, знаменатель: AD конец дроби = дробь: числитель: дробь: числитель: 50, знаменатель: 11 конец дроби умножить на дробь: числитель: 60, знаменатель: 11 конец дроби умножить на 11, знаменатель: 48 корень из 5 конец дроби = дробь: числитель: 3000, знаменатель: 11 умножить на 48 корень из 5 конец дроби = дробь: числитель: 125, знаменатель: 22 корень из 5 конец дроби = дробь: числитель: 125 корень из 5, знаменатель: 22 умножить на 5 конец дроби = дробь: числитель: 25 корень из 5, знаменатель: 22 конец дроби .

Треугольники ADB и BDP с основаниями AD и PD имеют общую высоту, проведенную к этим основаниям или к продолжению одного из них. Следовательно,

 дробь: числитель: S левая круглая скобка ADB правая круглая скобка , знаменатель: S левая круглая скобка BDP правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: AD, знаменатель: PD конец дроби = дробь: числитель: 48 корень из 5, знаменатель: 11 конец дроби : дробь: числитель: 25 корень из 5, знаменатель: 22 конец дроби = дробь: числитель: 48 корень из 5 умножить на 22, знаменатель: 11 умножить на 25 корень из 5 конец дроби = дробь: числитель: 96, знаменатель: 25 конец дроби .

Примечание:

1. Предположим, что мы не помним (не знаем) формулы квадрата биссектрисы. В таком случае как можно найти длину биссектрисы AD при решении данной задачи?

Можно так:

Проведем высоту ВК треугольника АВС к основанию АС. AK=6;BK= корень из AB в квадрате минус AK в квадрате =8.S левая круглая скобка ABC правая круглая скобка =6 умножить на 8=48. Это с одной стороны.

 

Но с другой же стороны, если \angle BAD=\angle CAD= альфа , то:

S левая круглая скобка ABC правая круглая скобка =S левая круглая скобка ABD правая круглая скобка плюс S левая круглая скобка ADC правая круглая скобка =0,5AB умножить на AD умножить на синус альфа плюс 0,5AC умножить на AD умножить на синус альфа =0,5AD умножить на синус альфа левая круглая скобка AB плюс AC правая круглая скобка =11AD умножить на синус альфа ;

AD умножить на синус альфа = дробь: числитель: 48, знаменатель: 11 конец дроби ; AD= дробь: числитель: 48, знаменатель: 11 умножить на синус альфа конец дроби . синус 2 альфа = синус \angle BAC= дробь: числитель: BK, знаменатель: AB конец дроби = дробь: числитель: 8, знаменатель: 10 конец дроби = дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби . косинус 2 альфа = дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби

(числа 3; 4 и 5 – пифагорова тройка).

 синус альфа = корень из дробь: числитель: 1 минус косинус 2 альфа , знаменатель: 2 конец дроби = корень из дробь: числитель: 1 минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби , знаменатель: 2 конец дроби = корень из дробь: числитель: 2, знаменатель: 10 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из 5 конец дроби .

Итак, AD= дробь: числитель: 48 корень из 5, знаменатель: 11 конец дроби .

 

Ответ:  дробь: числитель: 96, знаменатель: 25 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б.3
Получен обоснованный ответ в пункте б.

ИЛИ

Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а.

ИЛИ

При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

ИЛИ

Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл3
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 64.
Классификатор планиметрии: Комбинации фигур