СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 531024

Окружности С1 и С2 касаются внешним образом в точке А. Прямая l касается окружности С1 в точке В, а окружности С2 — в точке D. Через точку А проведены две прямые: одна проходит через точку В и пересекает окружность С2 в точке F, а другая касается окружностей С1 и С2 и пересекает прямую l в точке Е,

а) Найдите радиусы окружностей С1 и С2.

б) Окружность С3 касается внешним образом окружностей С1 и С2, а также отрезка BD. Найдите радиус этой окружности.

Решение.

а) Заметим, что BE = EA = ED (как отрезки касательных), следовательно BAD — прямоугольный треугольник и , значит FD — диаметр, а .

Заметим, что треугольник BDA подобен треугольнику BFD, следовательно, тогда . Значит, откуда Таким образом, а тогда

Заметим, что треугольник O1BA подобен треугольнику O2FA, следовательно, откуда

 

б) Пусть радиус окружности C3 равен x. Тогда

Далее имеем:

 

Ответ: а) б)

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 297.