В треугольнике ABC известно, что AB = AC = 10, BC = 12. На стороне AB отметили точки M1 и M2 так, что AM1 < AM2. Через точки M1 и M2 провели прямые, перпендикулярные стороне AB и отсекающие от треугольника ABC пятиугольник, в который можно вписать окружность.
а) Докажите, что AM1 : BM2 = 1 : 3.
б) Найдите площадь данного пятиугольника.
а) Пусть в треугольник ABC вписана окружность, точку её касания со стороной AB обозначим M, точку её касания со стороной BC обозначим Z. Заметим, что существует только одна окружность, касающаяся отрезков AB, BC, AC, значит, окружность, вписанная в пятиугольник из нашей задачи, это и есть окружность, вписанная в треугольник ABC.
По свойству касательных 
Площадь треугольника ABC можно вычислить, например, по формуле Герона, получится 48. Тогда радиус вписанной окружности равен
откуда MM2 = MM1 = 3. Следовательно, BM2 = 6 − 3 = 3, а AM1 = 10 − 6 − 3 = 1. Что и требовалось доказать.
б) Обозначим вершину пятиугольника, лежащую на отрезке BZ, буквой E. Заметим, что 
отсюда 
M2E = 4 и площадь треугольника BM2E равна 6. Обозначим вершину пятиугольника, лежащую на отрезке AC, буквой F. Заметим, что
Тогда 
и площадь треугольника AM1F равна 
Отсюда площадь искомого пятиугольника равна 
Ответ: 