В остроугольном треугольнике ABC отмечены H — ортоцентр и M — середина BC. Пусть радиус описанной окружности треугольника ABC равен R.
а) Докажите, что 
б) Пусть дополнительно известно, что 
и что 
Найдите R.
а) Пусть точка O — центр описанной около ABC окружности, тогда
поэтому 
и, значит, 
По неравенству треугольника
откуда 
Что и требовалось доказать.
б) Из пункта а) следует, что если верно равенство 
то центр описанной окружности лежит на медиане AM. Тогда треугольник ABC равнобедренный: 
Углы CBH и CAM равны, поэтому равны углы MBH и MAB. Следовательно, треугольники MBH и MAB подобны. Получаем, что
откуда 
Пусть точка O — центр описанной около ABC окружности. Тогда по теореме Пифагора 
то есть 
Решая это уравнение, получаем ответ: R = 7.
Ответ: б) 7.
Приведём другое решение пункта б).
Из пункта а) следует, что если верно равенство то центр описанной окружности лежит на медиане AM. Тогда треугольник ABC равнобедренный: Следовательно, центр описанной окружности О и ортоцентр Н лежат на его медиане и высоте AM. Тогда 
Расстояние от вершины треугольника до его ортоцентра в два раза больше расстояния от центра описанной окружности до противолежащей стороны, поэтому 
откуда
Ответ: б) 7.
Замечание. На нашем рисунке ко второму решению точка точка O лежит над точкой H. На другом рисунке эти точки могли бы поменяться местами или совпасть. Чтобы выяснить, как на самом деле расположены точки, заметим, что 
а 
Следовательно, точка O действительно ближе к точке M, чем точка H.