Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д15 C4 № 505793
i

В тре­уголь­ни­ке KLM угол L тупой, а длина сто­ро­ны KM равна 6. На окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка KLM, лежит центр окруж­но­сти, про­хо­дя­щей через вер­ши­ны K, M и точку пе­ре­се­че­ния высот тре­уголь­ни­ка KLM.

а)  До­ка­жи­те, что угол KLM равен 120 гра­ду­сов.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка KLM окруж­но­сти.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим ос­но­ва­ния пер­пен­ди­ку­ля­ров из точек K и M на пря­мые LM и KM за K_1 и M_1, \angle KLM за альфа , точку пе­ре­се­че­ния высот тре­уголь­ни­ка KLM за H, центр опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка KMH за O.

а)  По­сколь­ку \angle KHM=360 гра­ду­сов минус 2 умно­жить на 90 гра­ду­сов минус \angle L_1MK_1=80 гра­ду­сов минус \angle KLM=180 гра­ду­сов минус альфа мень­ше 90 гра­ду­сов, точка O лежит выше пря­мой KM и, зна­чит, на той же дуге KM опи­сан­ной окруж­но­сти KLM, что и точка L. По­это­му \angle KOM=\angle KLM= альфа . C дру­гой сто­ро­ны, в опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка KMH это цен­траль­ный угол, опи­ра­ю­щий­ся на ту же дугу, что и впи­сан­ный угол KHM. Зна­чит, альфа =2 левая круг­лая скоб­ка 180 гра­ду­сов минус альфа пра­вая круг­лая скоб­ка , от­ку­да альфа =120 гра­ду­сов.

б)  По уси­лен­ной тео­ре­ме си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка KLM имеем R= дробь: чис­ли­тель: KM, зна­ме­на­тель: 2 синус \angle KLM конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: 2 синус 120 гра­ду­сов конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби =2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

 

Ответ: R_KLM=2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б.3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б.

ИЛИ

Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а.

ИЛИ

При обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

ИЛИ

Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б и ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а, при этом пункт а не вы­пол­нен.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 73
Методы геометрии: Тео­ре­ма си­ну­сов, Углы в окруж­но­стях {центр., впис., опи­ра­ю­щи­е­ся на одну дугу}
Классификатор планиметрии: Ком­би­на­ции фигур
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025