Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д15 C4 № 505697

Дан квадрат ABCD со стороной 7. На сторонах BC и CD даны точки M и N такие, что периметр треугольника CMN равен 14.

а) Докажите, что B и D — точки касания вневписанной окружности треугольника CMN, а ее центр находится в вершине A квадрата ABCD.

б) Найдите угол MAN.

Спрятать решение

Решение.

а) Построим чертеж, который должен получиться в результате, и докажем, что он верен. Введем следующие обозначения: CM = a, CN = b, MK = x, KN = y. Так как отрезки касательных, проведенные из одной точки, равны, то, во-первых, MB = MK = x, ND = KN = y. Во-вторых, CB = CD, откуда: CB = CM + MB = a + x, CD = CN + ND = b + y, то есть a + x = b + y. Далее, периметр треугольника CMN равен 14, то есть a + b + x + y = 14. Подставляя сюда a + x из предыдущего равенства, получим 2(b + y) = 14, откуда b + y = 7. Следовательно, и a + x = 7. Отсюда получили, что CB = CD = 7 (что совпадает с длиной стороны квадрата), то есть точки B и D действительно являются точками касания. Тогда так как касательная перпендикулярна радиусу, а ABCD — квадрат, то BA = CD = 7, DA = BC = 7, то есть A — центр окружности.

Требуемое доказано

 

б) Треугольники MBA и MKA равны по 3-м сторонам (BA = KA = 7, BM = MK, AM — общая). Тогда ∠BAM = ∠MAK. Аналогично равны треугольники KAN и DAN, откуда следует ∠KAN = ∠NAD. Обозначим ∠BAM = α, тогда \angle BAK = 2 альфа ,\angle KAD = 90 градусов минус 2 альфа , откуда \angle KAN = 45 градусов минус альфа . Тогда

\angle MAN = \angle MAK плюс \angle KAN = альфа плюс левая круглая скобка 45 градусов минус альфа правая круглая скобка = 45 градусов.

 

Ответ: 45.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б.3
Получен обоснованный ответ в пункте б.

ИЛИ

Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а.

ИЛИ

При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

ИЛИ

Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл3
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 57.