На сторонах прямоугольного треугольника ABC, как на диаметрах, построены полуокружности w, w1 и w2. (рис.).
а) Докажите, что площадь треугольника ABC равна сумме площадей двух луночек, ограниченных полуокружностями w и w1 и полуокружностями w и w2.
б) Пусть прямая l касается w1 в точке M, а w2 в точке P. Найдите длину отрезка MP, если известно, что сумма площадей двух луночек равна 49.
а) Пусть AC = b, BC = a, AB = c. И пусть площадь луночки, ограниченной катетом b и дугой окружности ω будет равна D1, а площадь луночки ограниченной катетом a и дугой окружности ω будет равна D2. Тогда площадь треугольника ABC (обозначим SΔ) будет выражена так:
Найдем площадь S1 луночки, которая ограничена полуокружностями ω и ω1.
Аналогично найдем площадь S2 луночки, ограниченной полуокружностями ω и ω2, 
По теореме Пифагора: 
значит, 
(**)
Правые части равенств (*) и (**) совпадают, следовательно, обязаны совпасть и левые части, т. е. 
что и требовалось доказать.
б) Соединим отрезком центры окружностей ω1 и ω2, точки O1 и O2 соответственно. Проведем радиусы O1M, O2P. Ясно, что O1M ⊥ l, O2P ⊥ l, O1M || O2P, O1MPO2 — трапеция,
Итак, MP2 = 49, MP = 7.
Приведём другое решение:
а) Пусть AC = b, BC = a, AB = c. И пусть площадь луночки, ограниченной катетом b и полуокружностью ω, равна D1, катетом a и полуокружностью ω равна D2. Тогда
Правые части равенств (*) и (**) совпадают, следовательно, обязаны совпасть и левые части, т. е. 
что и требовалось доказать.
б) Соединим отрезком центры окружностей ω1 и ω2, точки O1 и O2 соответственно. Проведем радиусы O1M, O2P. Ясно, что O1M ⊥ l, O2P ⊥ l, значит, O1M || O2P, O1MPO2 — трапеция. Проведем O2K, K ∈ O1M, O2K || MP.
Итак, MP2 = 9, MP = 7.
Ответ: б) 7.