В равнобокую трапецию вписана окружность.
а) Докажите, что диаметр окружности равен среднему геометрическому длин оснований трапеции. (Средним геометрическим двух положительных чисел а и b называется значение выражения 
)
б) Найдите площадь четырехугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами трапеции, если известно, что длины оснований трапеции 8 и 18.
а) Пусть в трапеции ABCD 
Опустим высоты BE и CF на основание AD. Тогда 
Поскольку трапеция описанная и равнобедренная, то 
Из прямоугольного треугольника ABE имеем 
Очевидно, что диаметр окружности равен расстоянию между основаниями трапеции, то есть как раз найденной высоте.
б) По пункту а) диаметр окружности равен 
а радиус, следовательно, равен 6. Боковая сторона трапеции равна 13. Поскольку верхнее основание поделено точкой касания на отрезки длиной 4, а нижнее — на отрезки длиной 9, боковая сторона поделена на отрезки длиной 4 и 9.
Соединим теперь точки касания на боковых сторонах. отрезок, соединяющий их, параллелен основаниям и делит боковую cторону в отношении 
Тогда его длина равна 
Итак, диагонали нужного нам четырехугольника перпендикулярны и имеют длины 12 и 
поэтому его площадь равна 