Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д15 C4 № 514061

В равнобокую трапецию вписана окружность. 

а)  Докажите, что диаметр окружности равен среднему геометрическому длин оснований трапеции. (Средним  геометрическим двух положительных чисел а и b называется значение выражения   корень из ab

б)  Найдите площадь четырехугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами трапеции, если известно, что длины оснований трапеции 8 и 18.

Спрятать решение

Решение.

а)  Пусть в трапеции ABCD AD\parallel BC, AD=b больше a=BC. Опустим высоты BE и CF на основание AD. Тогда AE=FD= дробь: числитель: b минус a, знаменатель: 2 конец дроби . Поскольку трапеция описанная и равнобедренная, то AB=CD= дробь: числитель: a плюс b, знаменатель: 2 конец дроби .

Из прямоугольного треугольника ABE имеем BE= корень из левая круглая скобка дробь: числитель: a плюс b, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка дробь: числитель: b минус a, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате = корень из ab. Очевидно, что диаметр окружности равен расстоянию между основаниями трапеции, то есть как раз найденной высоте.

б)  По пункту а) диаметр окружности равен  корень из 8 умножить на 18=12, а радиус, следовательно, равен 6. Боковая сторона трапеции равна 13. Поскольку верхнее основание поделено точкой касания на отрезки длиной 4, а нижнее  — на отрезки длиной 9, боковая сторона поделена на отрезки длиной 4 и 9.

Соединим теперь точки касания на боковых сторонах. отрезок, соединяющий их, параллелен основаниям и делит боковую cторону в отношении 4:9. Тогда его длина равна 8 плюс 2 умножить на дробь: числитель: 4, знаменатель: 13 конец дроби умножить на 5= дробь: числитель: 144, знаменатель: 13 конец дроби .

Итак, диагонали нужного нам четырехугольника перпендикулярны и имеют длины 12 и  дробь: числитель: 144, знаменатель: 13 конец дроби , поэтому его площадь равна  дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 12 умножить на дробь: числитель: 144, знаменатель: 13 конец дроби = дробь: числитель: 864, знаменатель: 13 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б.3
Получен обоснованный ответ в пункте б.

ИЛИ

Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а.

ИЛИ

При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

ИЛИ

Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл3
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 153.