а)  При­ме­ним тео­ре­му си­ну­сов к тре­уголь­ни­ку MBN, по­лу­чим: от­ку­да тогда или Вос­поль­зу­ем­ся тем, что AD > BC. Если сдви­гать точку A к точке D, точка M будет пе­ре­ме­щать­ся по дуге в сто­ро­ну точки D, таким об­ра­зом, дуга NBM будет уве­ли­чи­вать­ся. В тот мо­мент, когда ос­но­ва­ния ста­нут равны, точки M и N ста­нут сим­мет­рич­ны от­но­си­тель­но се­ре­ди­ны от­рез­ка BD, то есть ста­нут диа­мет­раль­но про­ти­во­по­лож­ны. Итак, если уве­ли­чи­вать дугу NBM, то она ста­нет по­лу­окруж­но­стью, зна­чит, на ис­ход­ной кар­тин­ке она мень­ше по­лу­окруж­но­сти, по­это­му Таким об­ра­зом,

б)  По усло­вию пло­щадь тра­пе­ции Вы­со­та тра­пе­ции равна диа­мет­ру окруж­но­сти: Пусть длина верх­не­го ос­но­ва­ния тра­пе­ции равна а, а длина ниж­не­го равна b, из вы­ра­же­ния для пло­ща­ди тра­пе­ции на­хо­дим, что:

Пусть угол CBD равен α, угол ADB равен β. Тре­уголь­ник BMD пря­мо­уголь­ный, так как BD  — диа­метр окруж­но­сти, по­это­му а В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке CBD на­хо­дим: В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ADB на­хо­дим: Угол MDC, рав­ный сумме углов CBD и ADB, опи­ра­ет­ся на ту же хорду, что и угол MBC, но его вер­ши­на лежит по дру­гую сто­ро­ну от этой хорды, по­это­му Сле­до­ва­тель­но,

При­ме­ним фор­му­лу тан­ген­са суммы:

от­ку­да Под­став­ляя зна­че­ния тан­ген­сов, на­хо­дим:

Учтем, что по­лу­ча­ем:

Ответ: а) 135°, б)