Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д15 C4 № 532055

В треугольнике АВС сторона ВC больше стороны АC. Биссектриса CL пересекает описанную около треугольника АВС окружность в точке K. Окружность, описанная около треугольника АКL, вторично пересекает прямую АС в точке Р.

а) Докажите, что отрезки ВС и РС равны.

б) Найдите площадь треугольника АРК, если ВС = 6, АВ = 5, АС = 4.

Спрятать решение

Решение.

а) Заметим, что \angleABC=\angleAKC как вписанные (опираются на дугу АС).

\angleAKC=\angleAKL=\angleAPL как вписанные (опираются на дугу AL). Тогда  \anglePLC=\angleBLC и треугольники PCL и BCL равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Следовательно, PC=BC.

б) Треугольники ACK и LCB подобны по двум углам, тогда  дробь: числитель: CK, знаменатель: CB конец дроби = дробь: числитель: AC, знаменатель: CL конец дроби . Треугольники ALK и CLB подобны по двум углам, тогда  дробь: числитель: CL, знаменатель: AL конец дроби = дробь: числитель: LB, знаменатель: LK конец дроби . Кроме того, по свойству биссектрисы  дробь: числитель: AL, знаменатель: AC конец дроби = дробь: числитель: LB, знаменатель: BC конец дроби , AL = 2, LB = 3.

Отсюда

CK умножить на CL=AC умножить на BC (1); CL умножить на LK=AL умножить на BL; CL левая круглая скобка CK минус CL правая круглая скобка =AL умножить на BL;

CL в квадрате =AC умножить на BC минус AL умножить на BL=4 умножить на 6 минус 2 умножить на 3 = 18; получаем CL=3 корень из 2.

Из (1) получаем 3 корень из 2 умножить на CK=4 умножить на 6; CK=4 корень из 2. Обозначим угол ACL = альфа . Тогда

 косинус 2 альфа = дробь: числитель: 4 в квадрате плюс 6 в квадрате минус 5 в квадрате , знаменатель: 2 умножить на 4 умножить на 6 конец дроби = дробь: числитель: 27, знаменатель: 48 конец дроби = дробь: числитель: 9, знаменатель: 16 конец дроби , 1 минус 2 синус в квадрате альфа = дробь: числитель: 9, знаменатель: 16 конец дроби , 2 синус в квадрате альфа = дробь: числитель: 7, знаменатель: 32 конец дроби  синус альфа = корень из дробь: числитель: 7, знаменатель: 32 конец дроби

S_APK =S_PCK минус S_ACK= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби PC умножить на CK умножить на синус альфа минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AC умножить на CK умножить на синус альфа = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби CK умножить на синус альфа умножить на левая круглая скобка PC минус AC правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 4 корень из 2 умножить на корень из дробь: числитель: 7, знаменатель: 32 конец дроби умножить на 2= корень из 7

 

Ответ: б)  корень из 7.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б3
Получен обоснованный ответ в пункте б

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл3
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 301.