Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д15 C4 № 508193
i

Окруж­ность ка­са­ет­ся сто­ро­ны АВ па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD, пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ны AD и ВС в точ­ках М и N со­от­вет­ствен­но и про­хо­дит через вер­ши­ны С и D.

а)  До­ка­жи­те, что DN = CM.

б)  Най­ди­те DN, зная, что AM = 9, BN = 16, BC = 18.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Рас­смот­рим че­ты­рех­уголь­ник NMDC, впи­сан­ный в окруж­ность. MD || NC, так как эти от­рез­ки лежат на про­ти­во­по­лож­ных сто­ро­нах па­рал­ле­ло­грам­ма. По­сколь­ку MD не равно NC, MN и CD  — не па­рал­лель­ны, че­ты­рех­уголь­ник NMDC  — тра­пе­ция. Од­на­ко, любая тра­пе­ция, впи­сан­ная в окруж­ность, не­пре­мен­но яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ной. А у рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции диа­го­на­ли равны.

Зна­чит, DN = CM, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  По свой­ству па­рал­ле­ло­грам­ма: AD = BC = 18.

Пусть Р  — точка ка­са­ния окруж­но­сти от­рез­ка АВ. По свой­ству от­рез­ков се­ку­щей и ка­са­тель­ной к окруж­но­сти имеем:

AP в квад­ра­те =AD умно­жить на AM=18 умно­жить на 9=9 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ;

BP в квад­ра­те =BC умно­жить на BN=18 умно­жить на 16=12 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ; AB=CD=MN=AP плюс BP=21 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ; NC=BC минус BN=2.

Про­ве­дем вы­со­ту NH тра­пе­ции NMDC. По из­вест­но­му свой­ству рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции имеем: MH= левая круг­лая скоб­ка MD минус NC пра­вая круг­лая скоб­ка :2=3,5.

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке MHN по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра: NH в квад­ра­те =MN в квад­ра­те минус MH в квад­ра­те .

А в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке NHD:

ND в квад­ра­те =NH в квад­ра­те плюс HD в квад­ра­те =MN в квад­ра­те минус MH в квад­ра­те плюс HD в квад­ра­те .

MD=AD минус AM=9;HD=MD минус MH=9 минус 3,5=5,5.

ND в квад­ра­те =441 умно­жить на 2 минус 12,25 плюс 30,25=900.ND=30.

 

Ответ: б) 30.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б.3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б.

ИЛИ

Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а.

ИЛИ

При обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

ИЛИ

Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б и ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а, при этом пункт а не вы­пол­нен.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 105
Методы геометрии: Свой­ства ка­са­тель­ных, се­ку­щих
Классификатор планиметрии: Ком­би­на­ции фигур, Окруж­ность, опи­сан­ная во­круг че­ты­рех­уголь­ни­ка
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025