Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AD и CE, H — точка пересечения высот.
а) Докажите, что точки A, E, D и С лежат на одной окружности.
б) Известно, что радиус этой окружности равен 2, а радиус описанной окружности треугольника ABC равен 4. Найдите угол ABC.
Решение.
Спрятать критерии
а) Поскольку треугольники AEC и ADC — прямоугольные, их центры описанных окружностей совпадают с серединой AC, а радиусы окружностей равны 
То есть это одна и та же окружность. Значит, все четыре точки лежат на одной окружности.
б) 
По усиленной теореме синусов в треугольнике ABC имеем 
откуда 
и 
Ответ: 30°.
Методы геометрии: Теорема синусов
Классификатор планиметрии: Комбинации фигур