В треугольнике АВС основание ВС = 9,5, площадь треугольника равна 28,5. Окружность, вписанная в треугольник, касается средней линии, параллельной основанию.
а) Докажите, что АС + АВ = 3ВС.
б) Найдите меньшую из боковых сторон.
а) Пусть
Известно, что в четырехугольник можно вписать окружность в том и только в том случае, если суммы противолежащих сторон этого четырехугольника равны. Следовательно, MN + BC = AM + CN. Поскольку по условию задачи MN — средняя линия треугольника АВС, то 
Тогда ВM + CN = BC + MN = 9,5 + 4,75 = 14,25. В таком случае также будет выполнено условия: АМ + АN = 14,25, АВ + АС = 2 · 14,25 = 28,5.
Заметим, что 3BC=3 · 9,5=28,5. Значит, АВ + АС = 3. Это и требовалось доказать.
б) Проведем высоту 
Пусть AC = x, тогда 
В 
По теореме косинусов будем иметь: 
(не подходит, так как 28,5 − 18,5 = 10, в таком случае 18,5 не есть дина меньшей из боковых сторон).
Примечание:
К такому же результату можно прийти и таким образом:
Пусть АС = х, СН = у. Тогда 
В прямоугольных треугольниках AHC и AHBпо теореме Пифагора будем иметь:
Решим второе уравнение системы относительно y с учётом первого уравнения.
Подставляя полученное значение у в первое уравнение системы, получим:
(не подходит, так как 28,5 - 18,5 = 10, в таком случае 18,5 не есть дина меньшей из боковых сторон) .
Ответ: 10.