Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 506029

Пусть O — центр окружности, описанной около треугольника ABC, угол AOC равен 60 градусов. Найдите угол AMC, где M — центр окружности, вписанной в треугольник ABC.

Решение.

1) Исходный треугольник остроугольный (∠B < 90°), рисунок справа. Острый вписанный угол, опирающийся на дугу AC, в 2 раза меньше центрального, то есть ∠ABC = 30°. Центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечения его биссектрис, поэтому из треугольника ABC получаем:

2\alpha плюс 2\beta плюс 30 в степени circ = 180 в степени circ равносильно \alpha плюс \beta = 75 в степени circ.

Из треугольника AMC получим:

\angle AMC = 180 в степени circ минус \alpha минус \beta = 180 в степени circ минус 75 в степени circ = 105 в степени circ.

2) Исходный треугольник тупоугольный (\angle B больше 90 в степени circ), рисунок слева (для экономии места изображена часть окружности). Тупой вписанный угол, опирающийся на дугу AC, находится как разность 180 в степени circ и острого вписанного угла: тогда \angle ABC = 180 в степени circ минус дробь, числитель — \angle AOC, знаменатель — 2 = 150 в степени circ. Далее аналогично первому случаю: из треугольника ABC получаем: 2\alpha плюс 2\beta плюс 150 в степени circ = 180 в степени circ равносильно \alpha плюс \beta = 15 в степени circ. Из треугольника AMC получим:

 

\angle AMC = 180 в степени circ минус \alpha минус \beta = 180 в степени circ минус 15 в степени circ = 165 в степени circ.

 

Ответ: 105° или 165°.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 31.
Классификатор планиметрии: Окружность, вписанная в треугольник, Окружность, описанная вокруг треугольника