СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 531308

В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС вершины А, В и точка пересечения высот треугольника Е лежат на окружности, которая пересекает отрезок ВС в точке D.

а) Докажите, что треугольник ADC равнобедренный.

б) Найдите радиус окружности, если CD = 4, BD = 5.

Решение.

а) Заметим, что угол DBE равен углу DAE как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу. Заметим, что Следовательно, в треугольнике DAC биссектриса и высота, проведенные к DC, совпали. Таким образом, сторона DA равна стороне CA.

б) Углы ABE и DBE равны, следовательно, треугольники ABC и CAD подобны по двум углам. Тогда

поэтому а значит, и

Найдем высоту треугольника ABC: Теперь найдем радиус окружности, описанной около треугольника ABD:

По теореме синусов,

Следовательно,

 

Ответ: б)

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 298.