Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д15 C4 № 531831
i

Окруж­ность ра­ди­у­са ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ка­са­ет­ся пря­мой a в точке А, а пря­мой b в точке В так, что хорда АВ стя­ги­ва­ет дугу окруж­но­сти в 60°. Пря­мые a и b пе­ре­се­ка­ют­ся в точке F. Точка С рас­по­ло­же­на на луче FA, а точка D  — на луче BF так, что AC  =  BD  =  2.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник BAD  — пря­мо­уголь­ный.

б)  Най­ди­те длину ме­ди­а­ны тре­уголь­ни­ка CBD, про­ве­ден­ную из вер­ши­ны D.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  За­ме­тим, что \angleAOF=\angleBOF=30 гра­ду­сов от­сю­да сле­ду­ет

AF=BF= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та умно­жить на тан­генс 30 гра­ду­сов=1,

AF=FB=FD=1.

В тре­уголь­ни­ке ABD ме­ди­а­на, про­ве­ден­ная к сто­ро­не равна по­ло­ви­не этой сто­ро­ны, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник ABD  — пря­мо­уголь­ный.

б)  По­сколь­ку \angleAFB=120 гра­ду­сов, то \angleBAF=\angleABF=30 гра­ду­сов,

\angleCAD=360 гра­ду­сов минус 30 гра­ду­сов минус 30 гра­ду­сов минус 60 гра­ду­сов=120 гра­ду­сов,

AD= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби CD=1.

По тео­ре­ме ко­си­ну­сов по­лу­ча­ем: CD в квад­ра­те =2 в квад­ра­те плюс 1 в квад­ра­те минус 2 умно­жить на 2 умно­жить на 1 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =7, от­ку­да CD= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та . Далее, CB в квад­ра­те =3 в квад­ра­те плюс 1 в квад­ра­те минус 2 умно­жить на 3 умно­жить на 1 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =13, от­ку­да CB= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та .

При­ме­ним тео­ре­му ко­си­ну­сов к тре­уголь­ни­ку CBD:

ко­си­нус \angleB= дробь: чис­ли­тель: 13 плюс 4 минус 7, зна­ме­на­тель: 2 умно­жить на 2 умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та конец дроби ,

x в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: 13, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 4 минус 2 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 2 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ,

от­ку­да x= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Ответ: б) дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б и ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а, при этом пункт а не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 300
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025