СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 530911

Квадраты ABCD и A1B1C1D1 (вершины названы по часовой стрелке) совпадают вершинами C и B1. Точки O и O1 — центры квадратов.

а) Докажите, что прямая OO1 пересекает отрезки A1B и C1D под одинаковыми углами.

б) Найдите OO1, если

Решение.

а) Заметим, что при повороте на 90° вокруг точки C, прямая BA1 переходит в прямую DC1. Прямая BA1 перпендикулярна прямой DC1, значит, углы BED и C1EA1 равны 90° (точка E — пересечение BA1 и C1D). Тогда окружности, описанные около квадратов, пересекаются в точках C и E, следовательно

Прямая CE перпендикулярна прямой OO1, значит

Аналогично, угол DME равен 45° (здесь точка K — пересечение BA1 и OO1, а точка M — пересечение C1D и OO1).

б) Прямая BA1 переходит в DC1 при повороте, Пусть P и Q — проекции точек O и O1 соответственно на прямую BA1. Точка P — середина BE, точка Q — середина A1E, тогда

Ответ: 6.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 296.