Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д15 C4 № 505787

В окружность вписан четырёхугольник ABCD, диагонали которого взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке E. Прямая, проходящая через точку E и перпендикулярная к AB, пересекает сторону CD в точке M.

а) Докажите, что EM — медиана треугольника CED.

б) Найдите EM, если AD = 8, AB = 4 и угол CDB = 60°.

Спрятать решение

Решение.

а) Пусть H — точка пересечения прямой EM и отрезка AB. Заметим, что \angle BDC=\angle BAC (опираются на дугу BC), \angle BAC=90 градусов минус \angle AEH=\angle HEB=\angle DEM (как вертикальные), отсюда \angle BDC=\angle DEM, то есть треугольник DEM равнобедренный. Далее \angle MEC=90 градусов минус \angle MED=90 градусов минус \angle EDM=\angle ECM, поэтому треугольник EMC тоже равнобедренный. Итак, DM=EM=CM, значит, EM — медиана CDE.

б) Поскольку DEM — равнобедренный (см. п.а) треугольник с углом 60°, то он равносторонний. Далее, \angle EAB=60 градусов, и поэтому в треугольнике EAB имеем AE= дробь: числитель: AB, знаменатель: 2 конец дроби =2. Тогда EM=DE= корень из AD в квадрате минус AE в квадрате = корень из 8 в квадрате минус 2 в квадрате =2 корень из 15.

 

Ответ: 2 корень из 15.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б.3
Получен обоснованный ответ в пункте б.

ИЛИ

Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а.

ИЛИ

При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

ИЛИ

Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 505691: 505787 508157 Все

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 72.