Через вершины А и С прямоугольного треугольника ABC (∠B = 90°) проведена окружность с центром в точке О, касающаяся прямой AB и пересекающая продолжение стороны BC в точке E.
а) Докажите, что сумма углов AOE и AOC равна 180°.
б) Найдите диаметр окружности, если известно, что BE = 5, AC = 6.
а) Из условия задачи следует, что AO ⊥ AB. Следовательно, AO || BE как два перпендикуляра к одной и той же прямой.
Сделаем дополнительное построение: продолжим AO до пересечения с другой точкой окружности, которую обозначим D. Соединим точки E и D отрезком. Мы получили вписанную трапецию ACED, одним основанием которой будет служить диаметр заданной окружности.
Так как в окружность можно вписать только равнобедренную трапецию, то DE = AC = 6. Но эти же равные хорды стягивают и равные дуги АС и DE. Следовательно, равным дугам соответствующие центральные углы AOC и DOE обязаны быть равными.
Отсюда: ∠AOE + ∠AOC = ∠AOE + ∠ DOE = 180°, что и требовалось доказать.
б) Заметим, что ∠AED = 90° как вписанный, опирающийся на диаметр AD. Два прямоугольных треугольника ABE и AED имеют равные острые углы: ∠BEA и ∠EAD (внутренние накрест лежащие при параллельных BE, AD и секущей AE). Следовательно, они (треугольники) подобны, откуда:
В прямоугольном треугольнике AED по теореме Пифагора: AD2 = AE2 + DE2 = 5AD + 36. То есть
Ответ: б) 9.