Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Четырехугольник ABDC вписан в окружность. Прямые AB и CD пересекаются в точке P.
а) Докажите, что AD · BP = BC · DP.
б) Найдите площадь треугольника APC, если известно, что BD = 2 · AC, а площадь четырехугольника ABDC равна 36.
Решение.
Спрятать критерии
А) Известно, что BP · AP = DP · CP.
Δ APD ~ Δ CPB, так как у них ∠ P — общий, ∠ ABC = ∠ ADP как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу АС. Отсюда: 
или AD · BP = BC · DP, что и требовалось доказать.
Б) Δ APC ~ Δ DPB с некоторым коэффициентом подобия k, так как ∠ P — общий, 
Следовательно, 
А это значит, что 
т. е.
Ответ: б) 12.
Классификатор планиметрии: Комбинации фигур, Окружность, описанная вокруг четырехугольника, Подобие