Равносторонний треугольник АВС вписан в окружность. На окружности отмечена точка М, не совпадающая ни с одной из точек А, В и С.
а) Докажите, что расстояние от точки М до одной из вершин треугольника равно сумме расстояний до двух других вершин.
б) Найдите периметр четырехугольника с вершинами в точках А, В, С и М, если известно, что площадь равна 
а радиус окружности равен 
а) Докажем, что BM = AM + MC.
По теореме Птолемея: 
Пусть 
Тогда: 
т. е. BM = MC + AM, что и требовалось доказать.
б) 
— это с одной стороны, а с другой же стороны 
Отсюда: 
По доказанному выше: 
По свойству окружности, описанной около четырехугольника, будем иметь: 
или
В 
по теореме косинусов:
Значит, 
Ответ: 