Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д15 C4 № 521824
i

Ка­са­тель­ная в точке А к опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка АВС пе­ре­се­ка­ет пря­мую ВС в точке Е, AD  — бис­сек­три­са тре­уголь­ни­ка АВС.

а)  До­ка­жи­те, что АЕ  =  ЕD.

б)  Из­вест­но, что точка Е лежит на луче СВ и СЕ  =  9, ВЕ  =  4, ко­си­нус AED= дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби . Най­ди­те рас­сто­я­ние от вер­ши­ны В до пря­мой АС.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Обо­зна­чим \angle CAD=\angle DAB= альфа , \angle ACB= бета , тогда \angle BAE= бета как угол между ка­са­тель­ной и хор­дой. Тогда \angle DAE= альфа плюс бета =180 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка минус \angle CDA=\angle ADE, по­это­му ре­уголь­ник ADE рав­но­бед­рен­ный, что и тре­бо­ва­лось.

 

б)  По тео­ре­ме о квад­ра­те ка­са­тель­ной AE= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 9 умно­жить на 4 конец ар­гу­мен­та =6, тогда по тео­ре­ме ко­си­ну­сов имеем AB в квад­ра­те =36 плюс 16 минус 48 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби =25, AB=5.

 

Далее, DB=DE минус BE=AE минус BE=2, CD=3 и по свой­ству бис­сек­три­сы CD:DB=CA:AB, от­ку­да CA= дробь: чис­ли­тель: 15, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

 

По­сколь­ку BC=BA, на­хо­дим d левая круг­лая скоб­ка B,CA пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: AB в квад­ра­те минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби AC в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 25 минус дробь: чис­ли­тель: 225, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та .

 

Ответ: б) дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б.3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б.

ИЛИ

Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а.

ИЛИ

При обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

ИЛИ

Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б и ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а, при этом пункт а не вы­пол­нен.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 235
Методы геометрии: Свой­ства бис­сек­трис, Свой­ства ка­са­тель­ных, се­ку­щих
Классификатор планиметрии: Ком­би­на­ции фигур
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025