СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 531560

Окружность с центром на диагонали АС трапеции ABCD (BC || AD) проходит через вершины А и В, касается стороны CD в точке С и пересекает основание AD в точке Е так, что AE = 8.

а) Найдите площадь трапеции ABCD.

б) Прямые CD и ВЕ пересекаются в точке Q. Найдите BQ.

Решение.

а) По теореме о квадрате касательной Следовательно, DE = 18.

Так как OC радиус, а CD касательная, то OC перпендикулярна CD. Заметим, что угол ABC равен 90°, так как опирается на диаметр окружности, угол ACD равен 90° как угол между диаметром и касательной. Углы BCA и CAD равны как накрест лежащие.

По теореме Пифагора:

Таким образом,

Поскольку треугольники ABC и DCA подобны, то

Откуда AB = 12, а BC = 8. Следовательно,

б) Так как треугольники QBC и QED подобны, то

Заметим, что Значит:

 

Следовательно,

 

Ответ: а) 204; б)

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 299.