Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д15 C4 № 531560

Окружность с центром на диагонали АС трапеции ABCD (BC || AD) проходит через вершины А и В, касается стороны CD в точке С и пересекает основание AD в точке Е так, что CD = 6 корень из 13, AE = 8.

а) Найдите площадь трапеции ABCD.

б) Прямые CD и ВЕ пересекаются в точке Q. Найдите BQ.

Спрятать решение

Решение.

а) По теореме о квадрате касательной DC в квадрате = DE умножить на DA,  левая круглая скобка 6 корень из 13 правая круглая скобка в квадрате = DE умножить на левая круглая скобка DE плюс 8 правая круглая скобка . Следовательно, DE = 18.

Так как OC радиус, а CD касательная, то OC перпендикулярна CD. Заметим, что угол ABC равен 90°, так как опирается на диаметр окружности, угол ACD равен 90° как угол между диаметром и касательной. Углы BCA и CAD равны как накрест лежащие.

По теореме Пифагора:

AC в квадрате =AD в квадрате минус CD в квадрате ,

26 в квадрате минус левая круглая скобка 6 корень из 13 правая круглая скобка в квадрате =676 минус 468=208.

Таким образом, AC=4 корень из 13.

Поскольку треугольники ABC и DCA подобны, то

 дробь: числитель: AB, знаменатель: DC конец дроби = дробь: числитель: BC, знаменатель: CA конец дроби = дробь: числитель: AC, знаменатель: DA конец дроби ,

 дробь: числитель: AB, знаменатель: 6 корень из 13 конец дроби = дробь: числитель: BC, знаменатель: 4 корень из 13 конец дроби = дробь: числитель: 4 корень из 13, знаменатель: 26 конец дроби .

Откуда AB = 12, а BC = 8. Следовательно, S_ABCD= дробь: числитель: 8 плюс 26, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 12=204.

б) Так как треугольники QBC и QED подобны, то  дробь: числитель: QB, знаменатель: QE конец дроби = дробь: числитель: BC, знаменатель: ED конец дроби .

Заметим, что BE=AC=4 корень из 13. Значит:

 дробь: числитель: BQ, знаменатель: BQ плюс 4 корень из 13 конец дроби = дробь: числитель: 8, знаменатель: 18 конец дроби ,

18BQ=8BQ плюс 32 корень из 13,

10BQ=32 корень из 13.

Следовательно, BQ= дробь: числитель: 16 корень из 13, знаменатель: 5 конец дроби .

 

Ответ: а) 204; б)  дробь: числитель: 16 корень из 13, знаменатель: 5 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б3
Получен обоснованный ответ в пункте б

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл3
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 299.