Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д15 C4 № 531560
i

Окруж­ность с цен­тром на диа­го­на­ли АС тра­пе­ции ABCD (BC || AD) про­хо­дит через вер­ши­ны А и В, ка­са­ет­ся сто­ро­ны CD в точке С и пе­ре­се­ка­ет ос­но­ва­ние AD в точке Е так, что CD = 6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та , AE  =  8.

а)  Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции ABCD.

б)  Пря­мые CD и ВЕ пе­ре­се­ка­ют­ся в точке Q. Най­ди­те BQ.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  По тео­ре­ме о квад­ра­те ка­са­тель­ной DC в квад­ра­те = DE умно­жить на DA, левая круг­лая скоб­ка 6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = DE умно­жить на левая круг­лая скоб­ка DE плюс 8 пра­вая круг­лая скоб­ка . Сле­до­ва­тель­но, DE  =  18.

Так как OC ра­ди­ус, а CD ка­са­тель­ная, то OC пер­пен­ди­ку­ляр­на CD. За­ме­тим, что угол ABC равен 90°, так как опи­ра­ет­ся на диа­метр окруж­но­сти, угол ACD равен 90° как угол между диа­мет­ром и ка­са­тель­ной. Углы BCA и CAD равны как на­крест ле­жа­щие.

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

AC в квад­ра­те =AD в квад­ра­те минус CD в квад­ра­те ,

26 в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка 6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =676 минус 468=208.

Таким об­ра­зом, AC=4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та .

По­сколь­ку тре­уголь­ни­ки ABC и DCA по­доб­ны, то

дробь: чис­ли­тель: AB, зна­ме­на­тель: DC конец дроби = дробь: чис­ли­тель: BC, зна­ме­на­тель: CA конец дроби = дробь: чис­ли­тель: AC, зна­ме­на­тель: DA конец дроби ,

дробь: чис­ли­тель: AB, зна­ме­на­тель: 6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: BC, зна­ме­на­тель: 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 26 конец дроби .

От­ку­да AB  =  12, а BC  =  8. Сле­до­ва­тель­но, S_ABCD= дробь: чис­ли­тель: 8 плюс 26, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 12=204.

б)  Так как тре­уголь­ни­ки QBC и QED по­доб­ны, то дробь: чис­ли­тель: QB, зна­ме­на­тель: QE конец дроби = дробь: чис­ли­тель: BC, зна­ме­на­тель: ED конец дроби .

За­ме­тим, что BE=AC=4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та . Зна­чит:

дробь: чис­ли­тель: BQ, зна­ме­на­тель: BQ плюс 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 18 конец дроби ,

18BQ=8BQ плюс 32 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та ,

10BQ=32 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та .

Сле­до­ва­тель­но, BQ= дробь: чис­ли­тель: 16 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

 

Ответ: а) 204; б) дробь: чис­ли­тель: 16 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б и ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а, при этом пункт а не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 299
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025