Дан прямоугольный треугольник АВС, с катетами АВ = 5 и ВС = 12. Точка I — центр окружности, вписанной в треугольник АВС. Прямая, проходящая через точку I, параллельна одной из сторон треугольника АВС и пересекает две другие стороны в точках К и Р. Найдите длину отрезка КР.
По теореме Пифагора гипотенуза AC равна 13. Периметр треугольника ABC равен 30, а полупериметр 15; площадь треугольника ABC равна 30, поэтому радиус вписанной окружности 
Введем обозначения, как показано на рисунке. Заметим, что BKLH — квадрат, следовательно, 
Рассмотрим три случая.
Первый случай. Пусть прямая KP параллельна основанию AB, тогда
Треугольники ABC и PKC подобны, поэтому 
Отсюда
Второй случай. Пусть прямая PK параллельна стороне BC, тогда
Треугольники ABC и APK подобны, поэтому 
Отсюда
Третий случай. Пусть прямая KP параллельна гипотенузе AC, найдем НР. Треугольники ABC и PLH подобны, а значит, 
Получаем:
Тогда
Наконец, треугольники ABC и PBK подобны. Следовательно,
Ответ: 
