Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке АВС левая круг­лая скоб­ка \angle C =90 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка про­ве­де­ны ме­ди­а­ны АМ и ВК. Из­вест­но, что около че­ты­рех­уголь­ни­ка АВМК можно опи­сать окруж­ность.

А)  До­ка­жи­те, что СК = СМ.

Б)  Пусть АВ = 2. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около че­ты­рех­уголь­ни­ка.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Ре­ше­ние 1. Про­ве­дем окруж­ность, о ко­то­рой го­во­рит­ся в усло­вии за­да­чи. В со­отвтет­ствии со свой­ством се­ку­щей и хорды имеем: CB умно­жить на CM=CA умно­жить на CK. Так как по усло­вию CB=2CM, CA=2CK, то 2CM в квад­ра­те =2CK в квад­ра­те , от­ку­да CK=CM, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Б)  В \Delta ACB, где \angle C=90 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка ,AB= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та умно­жить на AC; CB=AC= дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та . MB=CM= дробь: чис­ли­тель: CB, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

В \Delta ACM левая круг­лая скоб­ка \angle =90 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка AM= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: AC конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те плюс CM в квад­ра­те = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 плюс дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

S левая круг­лая скоб­ка AMB пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на MB умно­жить на AC= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 умно­жить на 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =0,5. Те­перь не­труд­но найти и ра­ди­ус R окруж­но­си, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка АМВ, ко­то­рый сов­па­дет с ра­ди­у­сом окруж­но­сти, опи­сан­ной около че­ты­рех­уголь­ни­ка АВМК.

R= дробь: чис­ли­тель: AM умно­жить на AB умно­жить на MB, зна­ме­на­тель: 4S левая круг­лая скоб­ка AMB пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 2 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 умно­жить на 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

 

Ответ: Б) дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

 

Ре­ше­ние 2.

а)  За­ме­тим, что KM\parallel AB, то есть ABMK  — впи­сан­ная тра­пе­ция. Зна­чит, она рав­но­бед­рен­ная, то есть MB=KA. Тогда и CK=CM.

б)  Из пунк­та а) сле­ду­ет, что AC=CB, тогда \angle ABC=45 гра­ду­со­виBC= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

Тогда \angle KMB=135 гра­ду­сов и KB= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: CB в квад­ра­те плюс KC в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец ар­гу­мен­та .

Ин­те­ре­су­ю­щая нас окруж­ность опи­са­на около тре­уголь­ни­ка KBM. По уси­лен­ной тео­ре­ме си­ну­сов ее ра­ди­ус равен дробь: чис­ли­тель: KB, зна­ме­на­тель: 2 синус \angle KMB конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

 

Ответ: дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б.3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б.

ИЛИ

Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а.

ИЛИ

При обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

ИЛИ

Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б и ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а, при этом пункт а не вы­пол­нен.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 119
Методы геометрии: Свой­ства ка­са­тель­ных, се­ку­щих, Тео­ре­ма си­ну­сов
Классификатор планиметрии: Ком­би­на­ции фигур, Окруж­ность, опи­сан­ная во­круг тре­уголь­ни­ка, Окруж­ность, опи­сан­ная во­круг че­ты­рех­уголь­ни­ка
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025