Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
В остроугольном треугольнике АВС высоты пересекаются в точке Н, точка О — центр описанной окружности, точка К — середина ВС.
а) Докажите, что отрезок АН вдвое длиннее отрезка ОК.
б) Найдите длину отрезка ОН, если известно, что АВ = 5, ВС = 6, АС = 7.
Решение.
Спрятать критерии
а) Рассмотрим проекции точек
на сторону AC и обозначим их 
соответственно. Тогда
(поскольку 
K — середина BC и 
— середина AC). Аналогично вдвое отличаются проекции отрезков OK и AH на сторону AB, откуда и следует, что и сами отрезки отличаются вдвое.
б) 
Значит, 
и 
Далее, 
и 
Теперь в прямоугольной трапеции 
мы знаем все стороны, кроме 
Найдем ее
Ответ: б) 
Классификатор планиметрии: Окружности, Окружность, описанная вокруг треугольника