Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д15 C4 № 521910

В остроугольном треугольнике АВС высоты пересекаются в точке Н, точка О  — центр описанной окружности, точка К  — середина ВС.

а)  Докажите, что отрезок АН вдвое длиннее отрезка ОК.

б)  Найдите длину отрезка ОН, если известно, что АВ = 5, ВС = 6, АС = 7.

Спрятать решение

Решение.

а)  Рассмотрим проекции точек H,O,K на сторону AC и обозначим их H_1,O_1,K_1 соответственно. Тогда

 

AH_1=AC минус CH_1=2O_1C минус 2CK_1=2O_1K_1 (поскольку KK_1\parallel BH_1, K  — середина BC и O_1  — середина AC). Аналогично вдвое отличаются проекции отрезков OK и AH на сторону AB, откуда и следует, что и сами отрезки отличаются вдвое.

 

б)  S_ABC= корень из 9 умножить на 4 умножить на 3 умножить на 2=6 корень из 6 равносильно R_ABC= дробь: числитель: 5 умножить на 6 умножить на 7, знаменатель: 4 умножить на 6 корень из 6 конец дроби = дробь: числитель: 35, знаменатель: 4 корень из 6 конец дроби .

 

Значит, OK= корень из OC в квадрате минус 3 в квадрате = дробь: числитель: 19, знаменатель: 4 корень из 6 конец дроби и AH= дробь: числитель: 19, знаменатель: 2 корень из 6 конец дроби

 

Далее, BH_1= дробь: числитель: 2S_ABC, знаменатель: AC конец дроби = дробь: числитель: 12 корень из 6, знаменатель: 7 конец дроби и H_1C= корень из 6 в квадрате минус дробь: числитель: 144 умножить на 6, знаменатель: 49 конец дроби = дробь: числитель: 30, знаменатель: 7 конец дроби , AH_1= дробь: числитель: 19, знаменатель: 7 конец дроби , HH_1= корень из AH в квадрате минус AH_1 в квадрате = дробь: числитель: 95, знаменатель: 14 корень из 6 конец дроби .

H_1O_1= дробь: числитель: 30, знаменатель: 7 конец дроби минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 11, знаменатель: 14 конец дроби , OO_1= корень из OC в квадрате минус O_1C в квадрате = дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 корень из 6 конец дроби

Теперь в прямоугольной трапеции HH_1O_1O мы знаем все стороны, кроме HO. Найдем ее

HO= корень из H_1O_1 в квадрате плюс левая круглая скобка HH_1 минус OO_1 правая круглая скобка в квадрате = дробь: числитель: корень из 155, знаменатель: 4 корень из 2 конец дроби .

Ответ: б)  дробь: числитель: корень из 155, знаменатель: 4 корень из 2 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б.3
Получен обоснованный ответ в пункте б.

ИЛИ

Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а.

ИЛИ

При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

ИЛИ

Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл3
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 237.