На основании АС равнобедренного треугольника АВС расположена точка D так, что AD = 2, CD = 1. Окружности, вписанные в треугольники ABD и DBC, касаются прямой BD в точках M и N соответственно.
а) Найдите длину отрезка MN.
б) Докажите, что радиус окружности, вписанной в треугольник ABD, не может быть более чем в 2 раза больше радиуса окружности, вписанной в треугольник DBC.
а) Пусть окружность, вписанная в треугольник ABD, касается AD в точке K и AB в точке P. И пусть окружность, вписанная в треугольник BDC, касается BC в точке L и DC в точке T. По свойству касательных,
Аналогично
Тогда для искомой длины получаем:
б) Пусть r1 — радиус окружности, вписанной в треугольник ABD, r2 — радиус окружности, вписанной в треугольник BCD. Тогда 
Заметим, что площадь треугольника ABD равна двум площадям BDC. Получим:
Ответ: a) 