Окружности радиусов 2 и 1 касаются в точке A. Найдите сторону равностороннего треугольника, одна из вершин которого находится в точке A, а две другие лежат на разных окружностях.
Возможны два случая.
1) Окружности касаются внешним образом. Обозначим за 
и 
центры меньшей и большей окружностей, а за B и C — лежащие на них вершины треугольника соответственно. Пусть далее 
тогда
Приравняем стороны AB и AC.
2) Окружности касаются внутренним образом. Обозначим за и центры меньшей и большей окружностей, а за B и C — лежащие на них вершины треугольника соответственно. Пусть далее тогда
Приравняем стороны AB и AC.
Отсюда ясно, что 
не треугольник. Проверка этого случая показывает, что такая ситуация воможна — точки A и O2 (лежащая на меньшей окружности) являются сторонами равностороннего треугольника со стороной 2, третья вершина которого лежит на большей окружности.
Ответ: 
или 2.