а)  Пло­щадь боль­шо­го круга равна пло­щадь ромба Надо по­ка­зать сле­ду­ю­щее:

То есть надо до­ка­зать, что ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти r как ми­ни­мум в 2 раза мень­ше сто­ро­ны ромба. Для этого рас­смот­рим тре­уголь­ник BOC: он пря­мо­уголь­ный, так как диа­го­на­ли ромба вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны; OH = r  — вы­со­та дан­но­го тре­уголь­ни­ка. Не­труд­но до­га­дать­ся, что зна­че­ние r мак­си­маль­но, когда тре­уголь­ник BOC яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным: в таком слу­чае OH яв­ля­ет­ся вы­со­той и ме­ди­а­ной, а ме­ди­а­на, про­ве­ден­ная из пря­мо­го угла, равна по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы, то есть от­ку­да Зна­чит, во всех осталь­ных слу­ча­ях вы­со­та OH будет толь­ко мень­ше, чем 0.5. Таким об­ра­зом, до­ка­за­ли, что

Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Обо­зна­чим и из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка BOC най­дем:

Най­дем и : так как обо­зна­чим от­ку­да по­лу­чим по ос­нов­но­му три­го­но­мет­ри­че­ско­му тож­де­ству:

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка BOH по­лу­чим:

С дру­гой сто­ро­ны Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка по­лу­чим:

При­рав­ни­вая вы­ра­же­ния для BO, по­лу­чим:

Ана­ло­гич­но рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник OHC:

По ана­ло­гии с вы­чис­ле­ни­я­ми выше, по­лу­чим:

Снова при­рав­ни­вая вы­ра­же­ния для OC, по­лу­ча­ем:

Окон­ча­тель­но, чтобы найти со­от­но­ше­ние между ра­ди­у­са­ми окруж­но­стей, по­де­лим най­ден­ные вы­ра­же­ния друг на друга:

Ответ:

При­ме­ча­ние: если все же не оче­ви­ден факт того, что вы­со­та в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке наи­боль­шая, когда его ка­те­ты равны, то ниже при­ве­де­но два ва­ри­ан­та стро­го­го до­ка­за­тель­ства:

1)  Обо­зна­чим CH = x, BH = a − x. Из свойств пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка из­вест­но:

Ве­ли­чи­на (а сле­до­ва­тель­но, и r) наи­боль­шая, когда мак­си­маль­но зна­че­ние вы­ра­же­ния Можно за­ме­тить, что   — это па­ра­бо­ла с вет­вя­ми, на­прав­лен­ны­ми вниз. Тогда вер­ши­на па­ра­бо­лы на­хо­дит­ся по фор­му­ле

2)  Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка BOC по­лу­ча­ем:

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка BOH по­лу­чим:

Чтобы найти наи­боль­шее зна­че­ние, не­об­хо­ди­мо взять про­из­вод­ную от r:

Окон­ча­тель­но

При­ведём дру­гое ре­ше­ние:

А)  Пусть ABCD  — за­дан­ный ромб, ∠A ≤ 90°, О  — центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в ромб, R  — ра­ди­ус этой окруж­но­сти, K  — про­ек­ция точки В на AD.

От­сю­да:

Мы будем срав­ни­вать не­из­мен­ную пло­щадь круга S_кр при фик­си­ро­ван­ном зна­че­нии его ра­ди­у­са, рав­но­го R, с пло­ща­дью ромба S_r при раз­лич­ных зна­че­ни­ях его остро­го угла А. Ясно, что S_r будет иметь наи­мень­шую пло­щадь при фик­си­ро­ван­ном R, если Тогда:

Коли это так, даль­ней­шая наша за­да­ча  — по­ка­зать, что число π со­став­ля­ет менее 0,8 части числа 4.

0,8 часть числа 4 есть 3,2. Но π < 3,2, что в свою оче­редь озна­ча­ет, что пло­щадь круга, огра­ни­чен­но­го окруж­но­стью Θ, со­став­ля­ет менее 80% пло­ща­ди ромба.

б)  Пусть O₁  — центр окруж­но­сти ω₁, O₂  — центр окруж­но­сти ω₂, ∠CAD  =  α₁, ∠CBD  =  α₂, ра­ди­ус окруж­но­сти ω₁ равен r₁, окруж­но­сти ω₂ равен r₂. Тогда Если OD  =  t, то AO  =  2t. А также:

Это с одной сто­ро­ны. С дру­гой же сто­ро­ны: Таким об­ра­зом,

Ана­ло­гич­но:

Ответ: б)